Tronco (geometría)

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tronco
Pentagonal frustum.svg Usech kvadrat piramid.png
Ejemplos: Un tronco pentagonal y otro cuadrado
Caras n trapezoides,
2 polígonos
Aristas 3n
Vértices 2n

En geometría, un tronco es la parte de un sólido, normalmente un cono o pirámide que se obtiene al cortarlo con dos planos paralelos.

Elementos y casos especiales[editar]

Cada una de las intersecciones con los planos de corte es una base del tronco. El eje, si lo hubiere, es el original del cono o la pirámide. Un tronco es circular si tienen esa forma las bases; es recto si el eje es perpendicular a las bases y oblicuo en caso contrario.

Conos y pirámides pueden verse como casos extremos de tronco, en los que uno de los planos de corte es tangente al vértice, quedando ésta reducida a un punto.

Fórmulas[editar]

Tronco oblicuo de una pirámide de base pentagonal.

El volumen de un tronco es la diferencia entre el volumen del sólido original, menos la parte exterior a los planos de corte:

V = \left | \frac{h_1 B_1}{3} - \frac{h_2 B_2}{3} \right |,

donde h_1 \, y h_2 \, son las distancias desde el vértice a las bases mayor y menor, siendo B_1 \, y B_2 \, las áreas de éstas.

Tronco de pirámide hexagonal.

Sea h \, la altura del tronco, esto es la distancia entre las bases, y teniendo en cuenta que h = \left | h_1 - h_2 \right | \, y que \frac{B_1}{B_2} = \frac{h_1^2}{h_2^2}, se obtiene una fórmula para el volumen, donde se relaciona este con la altura del tronco y el área de sus bases, mediante la media heroniana.

V = \frac{h}{3} (B_1 + \sqrt{B_1 B_2} + B_2)

Tronco cónico[editar]

En particular, el volumen de un tronco cónico es:

V = \frac {\pi h}{3}(R_1^2+R_1 R_2+R_2^2)

donde R_1 \, y R_2 \, son los radios de las bases.

Tronco circular[editar]

Usando las definiciones precedentes, en el caso de un cono truncado, la fórmula se simplifica:

V = \frac{\pi}{12} h D_1^2 \left(1 - \left(\frac{D_2}{D_1}\right)^2\right) , siendo 'D' los diámetros de las bases.

De igual forma:

V = \frac{\pi}{12} h \left(D_1^2 - \frac{D_2^2}{D_1/D_2}\right)

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]