Tronco (geometría)

tronco
Ejemplos: Un tronco pentagonal y otro cuadrado
Caras	n trapezoides, 2 polígonos
Aristas	3n
Vértices	2n

En geometría, un tronco es la parte de un sólido, normalmente un cono o pirámide que se obtiene al cortarlo con dos planos paralelos.

Elementos y casos especiales

Cada una de las intersecciones con los planos de corte en una base del tronco. El eje, si lo hubiere, es el original del cono o la pirámide. Un tronco es circular si tienen esa forma las bases; es recto si el eje es perpendicular a las bases y oblicuo en caso contrario.

Conos y pirámides pueden verse como casos extremos de tronco, en los que uno de los planos de corte es tangente al vértice, quedando ésta reducida a un punto.

Fórmulas

Tronco oblicuo de una pirámide de base pentagonal.

El volumen de un tronco es la diferencia entre el volumen del sólido original, menos la parte exterior a los planos de corte:

$V = \left | \frac{h_1 B_1}{3} - \frac{h_2 B_2}{3} \right |,$

donde $h_1 \,$ y $h_2 \,$ son las distancias desde el vértice a las bases mayor y menor, siendo $B_1 \,$ y $B_2 \,$ las áreas de éstas.

Tronco de pirámide hexagonal.

Sea $h \,$ la altura del tronco, esto es la distancia entre las bases, y teniendo en cuenta que $h = \left | h_1 - h_2 \right | \,$ y que $\frac{B_1}{B_2} = \frac{h_1^2}{h_2^2}$, se obtiene una fórmula para el volumen, donde se relaciona este con la altura del tronco y el área de sus bases, mediante la media heroniana.

$V = \frac{h}{3} (B_1 + \sqrt{B_1 B_2} + B_2)$

Tronco cónico

En particular, el volumen de un tronco cónico es:

$V = \frac {\pi h}{3}(R_1^2+R_1 R_2+R_2^2)$

donde $R_1 \,$ y $R_2 \,$ son los radios de las bases.

Tronco circular

Usando las definiciones precedentes, en el caso de un cono truncado, la fórmula se simplifica:

$V = \frac{\pi}{12} h D_1^2 \left(1 - \left(\frac{D_2}{D_1}\right)^2\right)$ , siendo 'D' los diámetros de las bases.

De igual forma:

$V = \frac{\pi}{12} h \left(D_1^2 - \frac{D_2^2}{D_1/D_2}\right)$

Véase también

• Media heroniana
• Tronco de cono
• Tronco de pirámide

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Tronco (geometría). Commons
• Weisstein, Eric W. «Tronco piramidal» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Weisstein, Eric W. «Tronco cónico» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Derivation of formula for the volume of frustums of pyramid and cone (Mathalino.com)
• Modelos de papel de troncos de pirámides