Pirámide (geometría)

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Pirámide cuadrangular.

Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono con una cara; y por caras, que son triángulos coincidentes en un punto denominado ápice.

El ápice o cúspide también es llamado vértice de la pirámide, aunque una pirámide tiene más vértices, tantos como el número de polígonos que lo limitan.

Tipos de pirámides[editar]

Pirámide oblicua. Los vértices están marcados en naranja y las aristas en rojo. La línea amarilla es una diagonal de la base.

Una pirámide recta es un tipo de pirámide cuyas caras laterales son triángulos isósceles. En este tipo de pirámides la recta perpendicular a la base que pasa por el ápice corta a la base por su circuncentro.

Una pirámide oblicua es aquella en la que no todas sus caras laterales son triángulos isósceles.

Una pirámide regular es una pirámide recta cuya base es un polígono regular.

Una pirámide convexa tiene como base un polígono convexo.

Una pirámide cóncava tiene como base un polígono cóncavo.

Existen tres tipos de pirámides cuyas caras son triángulos equiláteros, con bases de 3, 4 y 5 lados respectivamente. Un tetraedro regular es una pirámide cuyas caras (base y caras laterales) son triángulos equiláteros.

Área de un polígono regular

La línea roja es un apotema de este octógono.

El área de un polígono regular puede calcularse en función de la longitud de cada lado y su número de lados. Un polígono regular de n lados puede dividirse en n triángulos isósceles (equiláteros en el caso del hexágono regular) cuyas bases son los lados del polígono regular. La altura de cada uno de estos triángulos es un apotema del polígono regular y divide cada uno de los triángulos isósceles en dos triángulos rectángulos, dividiendo así el polígono en 2n triángulos rectángulos.

El área del polígono regular (Ab) es igual a la suma de las áreas de los triángulos rectángulos (At):

 A_b = 2 \ n \cdot A_t = 2 \ n \ \frac{\frac{l}{2} \ a}{2} = \frac{n}{2} \ l \cdot a

Donde a es el apotema del polígono regular. Para calcular la longitud del apotema se aplica la trigonometría.

Aparte: Calculemos la apotema a, donde α es el ángulo del vértice del triángulo rectángulo que coincide con el centro del polígono regular.:

 \tan(\alpha) = \frac{ \frac{l}{2} }{a}

 \tan(\alpha) = \frac{l}{2 \cdot a}

 a = \frac{l}{2 \cdot \tan(\alpha)}

Ahora reemplazando el valor de la apotema a en el área del polígono regular (Ab) tenemos:

 A_b = \frac{n}{2} \ l \cdot a = \frac{n}{2} \ l \cdot \frac{l}{2 \cdot \tan( \alpha )} = \frac{n}{4} \ l^2 \cdot \cot ( \alpha )

El valor del ángulo α resulta de dividir el ángulo completo () por el número de triángulos rectángulos (2n), luego \alpha = 2 \pi / 2 n = \pi / n.

(1)A_b = \frac{n}{4} \ l^2 \cdot \cot \left ( \frac{\pi}{n} \right )

Área lateral de una pirámide[editar]

El área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de las caras laterales.

En una pirámide regular, las caras laterales son triángulos isósceles. El área de cada cara es el semiproducto de su base (que es igual al lado de la base de la pirámide l ), por su altura (que es el apotema de la pirámide ap ). El área lateral de una pirámide regular resulta de multiplicar el área de una de sus caras laterales por el número de caras laterales.

(2)A_l = n \cdot \frac{l \cdot a_p}{2} = \frac{p\cdot a_p}{2}

Donde ap es el apotema de la pirámide y p es el perímetro de la base.

Teorema de Pitágoras:
Altura de la pirámide: h = a.
Apotema de la base: ab = b.
Apotema de la pirámide: ap = c.

El apotema de la pirámide (ap) puede calcularse a partir del apotema de la base (ab) y de la altura de la pirámide (h) aplicando el teorema de Pitágoras.

a_p^2 = a_b^2 + h^2

Área total de una pirámide[editar]

El área total de la pirámide es la suma del área de la base y el área lateral.

(3)A = A_b + A_l \,

En el caso de una pirámide regular, sustituyendo el área de la base (1) y el área lateral (2) en la ecuación (3), se obtiene:

A= \frac{n}{4} \ l^2 \cdot \cot \left ( \frac{\pi}{n} \right ) + \frac{p\cdot a_p}{2}

Volumen[editar]

El volumen de una pirámide puede obtenerse mediante cálculo diferencial. El área de un plano de corte transversal es directamente proporcional al área de la base (Ab) y al cuadrado de la distancia del plano de corte respecto al ápice de la pirámide. Esta distancia (d) es la diferencia entre la altura de la pirámide (h) y altura del plano de corte (z).

d = h - z \,

Por lo tanto, el área de un plano de corte transversal situado a una altura z por encima de la base es

 A \left(z\right) = A_b \ \frac{d^2}{h^2} = A_b \ \frac{(h - z)^2}{h^2}

El volumen de una pirámide se puede hallar conociendo el área de su base y su altura, independientemente de la forma de la base y de la posición del ápice en un plano paralelo a la base.

 V = \int_0^h A \left(z\right)\ d z = A_b \int_0^h \frac{(h - z)^2}{h^2}\ d z = -A_b \frac{(h-z)^3}{3h^2} \bigg|_0^h

(4) V = \frac{\ A_b \ h}{3}

Esta fórmula también es válida para el cono, ya que no depende de la forma de la base, sino de su área.

Volumen de una pirámide regular[editar]

El volumen de una pirámide cuya base es un polígono regular puede calcularse a partir del lado del polígono regular que define su base y la altura de la pirámide. Sustituyendo el área de la base Ab (1) en la ecuación del volumen de la pirámide (4) se obtiene:

 V = \frac{1}{3} \cdot \frac{n}{4} \cdot l^2 \cdot \cot \left ( \frac{\pi}{n} \right ) \cdot \ h


 V = \frac{n}{12} \cdot l^2 \cdot h \cdot \cot \left ( \frac{\pi}{n} \right )

Centro de gravedad de una pirámide[editar]

El centro de gravedad de una pirámide de densidad uniforme está situado a una distancia de la base igual a un cuarto de su altura.[1]

z_G = \frac{h}{4}

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Vázquez, Manuel; López, Eloisa (1995), Mecánica para ingenieros, Editorial Noela, Madrid, ISBN 84-88012-03-9.

Enlaces externos[editar]