Polinomio irreducible

En Teoría de Anillos, un polinomio $p$ no constante (y por lo tanto no nulo) con coeficientes en un dominio íntegro $R$ (es decir, $p \in R[x]$) es irreducible si no puede factorizarse como producto de polinomios de manera que todos ellos tengan grados menor que $\deg(p)$. Es decir, si $p = r \cdot q$ entonces ha de ser $r \in R$ o $q \in R$ (es decir, alguno de ellos ha de ser un polinomio constante).

Esto es un caso particular de elemento irreducible en un dominio íntegro.

El dominio íntegro R puede, entre otros, ser el conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales (que es dominio íntegro por ser cuerpo), el conjunto $\mathbb{C}$ de los números complejos (también cuerpo), el conjunto $\mathbb{Q}$ de los números racionales (cuerpo también) o el conjunto $\mathbb{Z}$ de los números enteros (que no es cuerpo pero sí dominio íntegro).

Ejemplos

Los cinco polinomios siguientes demuestran algunas características elementales de los polinomios reducibles e irreducibles, dependiendo del dominio de integridad donde estén definidos:

$p_1(x)=x^2+4x+4\,=(x+2)(x+2)$,

$p_2(x)=x^2-4\,=(x-2)(x+2)$,

$p_3(x)=x^2-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)$,

$p_4(x)=x^2-2\,=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$,

$p_5(x)=x^2+1\,=(x-i)(x+i)$.

• Sobre el anillo $\mathbb{Z}$ de números enteros, los primeros dos polinomios son reducibles, pero los tres últimos son irreducibles (el tercero no tiene coeficientes del número entero).
• Sobre el cuerpo $\mathbb{Q}$ de números racionales, los primeros tres polinomios son reducibles, pero los otros dos son irreducibles.
• Sobre el cuerpo $\mathbb{R}$ de números reales, los primeros cuatro polinomios son reducibles, pero el quinto sigue siendo irreducible.
• Sobre el cuerpo $\mathbb{C}$ de números complejos, los cinco polinomios son reducibles. De hecho en $\mathbb{C}$, cada polinomio no-constante se puede descomponer en factores lineales

$p(z)=a_n (z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n)$

donde $a_n$ es el coeficiente principal del polinomio y $z_1,\ldots,z_n$ son los ceros de $p(x)$. Por lo tanto, todos los polinomios irreducibles son de grado 1.

En el caso del cuerpo $\mathbb{R}$, tampoco pueden ser reducibles aquellos polinomios de grado 2 con discriminante negativo, ya que a pesar de ser factorizado por polinomios de menor grado que éste, y mayor o igual a 0, no tienen sus coeficientes dentro del cuerpo de los reales. Éste es el teorema fundamental del álgebra.

Criterios de irreducibilidad

Para demostrar si un polinomio es irreducible se pueden aplicar varios criterios, entre los que se encuentran el criterio de Eisenstein, el criterio de reducción o el Lema de Gauss. Aparte, todos los polinomios primitivos son irreducibles, aunque el recíproco no es cierto. Un polinomio irreducible es polinomio primitivo si y solo si $x^{{p^{m-1}}\over {ri}} \not \equiv 1 \pmod{ f(x)}$ cuando p es primo y x es un elemento de orden $p^m \in \mathbb{Z}_p[x]/f(x)$.

Polinomios irreducibles de Z[x]

Un polinomio $\scriptstyle P(x)$ es irreducible sobre $\scriptstyle \mathbb{Z}[X]$, si y sólo si $\scriptstyle Q(x) = P(x+1)$ también es irreducible.

Polinomios irreducibles de Q[x]

Lema de Gauss: Si un polinomio $\scriptstyle P(x)$ es irreducible sobre $\scriptstyle \mathbb{Z}[X]$, entonces también es irreducible considerado sobre $\scriptstyle \mathbb{Q}[X]$.

Polinomios irreducibles de R[x]

Los polinomios irreducibles sobre $\scriptstyle \mathbb{R}[X]$ son los monomios y los polinomios $\scriptstyle x^2+bx+c$ de grado 2, tales que su discriminante sea negativo, es decir:

$\Delta < 0;\, \qquad \Delta = b^2 - 4c$

Véase también

• Polinomio
• Teorema de la raíz racional
• Criterio de Eisenstein
• Lema de Gauss
• Dominio de factorización única

Referencia

Bibliografía

• Zaldívar, Felipe (1996). «1. Anillos». En UAM Itztapalapa (en español). Teoría de Galois (1 edición). México: Anthropos. pp. 33-41. ISBN 84-7658-502-0. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Irreducible Polynomial» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.