Polinomio irreducible

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En teoría de Anillos, un polinomio p no constante (y por lo tanto no nulo) con coeficientes en un dominio íntegro R (es decir, p \in R[x]) es irreducible si no puede factorizarse como producto de polinomios de manera que todos ellos tengan grados menor que \deg(p). Es decir, si p = r \cdot q entonces ha de ser r \in R o q \in R (es decir, alguno de ellos ha de ser un polinomio constante).

Esto es un caso particular de elemento irreducible en un dominio íntegro.

El dominio íntegro R puede, entre otros, ser el conjunto \scriptstyle \mathbb{R} de los números reales (que es dominio íntegro por ser cuerpo), el conjunto \scriptstyle \mathbb{C} de los números complejos (también cuerpo), el conjunto \scriptstyle \mathbb{Q} de los números racionales (cuerpo también) o el conjunto \scriptstyle \mathbb{Z} de los números enteros (que no es cuerpo pero sí dominio íntegro).

Ejemplos[editar]

Los cinco polinomios siguientes demuestran algunas características elementales de los polinomios reducibles e irreducibles, dependiendo del dominio de integridad donde estén definidos:

p_1(x)=x^2+4x+4\,=(x+2)(x+2),
p_2(x)=x^2-4\,=(x-2)(x+2),
p_3(x)=x^2-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3),
p_4(x)=x^2-2\,=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}),
p_5(x)=x^2+1\,=(x-i)(x+i).
  • Sobre el anillo \scriptstyle \mathbb{Z} de números enteros, los primeros dos polinomios son reducibles, pero los tres últimos son irreducibles (el tercero no tiene coeficientes del número entero).
  • Sobre el cuerpo \scriptstyle \mathbb{Q} de números racionales, los primeros tres polinomios son reducibles, pero los otros dos son irreducibles.
  • Sobre el cuerpo \scriptstyle \mathbb{R} de números reales, los primeros cuatro polinomios son reducibles, pero el quinto sigue siendo irreducible.
  • Sobre el cuerpo \scriptstyle \mathbb{C} de números complejos, los cinco polinomios son reducibles. De hecho en \scriptstyle \mathbb{C}, cada polinomio no-constante se puede descomponer en factores lineales
p(z)=a_n (z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n)
donde a_n es el coeficiente principal del polinomio y z_1,\ldots,z_n son los ceros de p(x). Por lo tanto, todos los polinomios irreducibles son de grado 1.

En el caso del cuerpo \scriptstyle \mathbb{R}, tampoco pueden ser reducibles aquellos polinomios de grado 2 con discriminante negativo, ya que a pesar de ser factorizado por polinomios de menor grado que éste, y mayor o igual a 0, no tienen sus coeficientes dentro del cuerpo de los reales. Éste es el teorema fundamental del álgebra.

Criterios de irreducibilidad[editar]

Para demostrar si un polinomio es irreducible se pueden aplicar varios criterios, entre los que se encuentran el criterio de Eisenstein, el criterio de reducción o el Lema de Gauss. Aparte, todos los polinomios primitivos son irreducibles, aunque el recíproco no es cierto. Un polinomio irreducible es polinomio primitivo si y solo si x^{{p^{m-1}}\over {ri}} \not \equiv 1 \pmod{ f(x)} cuando p es primo y x es un elemento de orden p^m \in \mathbb{Z}_p[x]/f(x).

Polinomios irreducibles de Z[x][editar]

  • Un polinomio \scriptstyle P(x) es irreducible sobre \scriptstyle \mathbb{Z}[X], si y sólo si \scriptstyle Q(x) = P(x+1) también es irreducible.
  • Trivialmente un polinomio de segundo grado, que no tenga a 1 o -1 como raíz, sólo puede ser reducible si su término independiente no es un número primo: \scriptstyle P(x) = (ax+b)(cx+d) = ax^2 + (ad+bc)x + bd, si \scriptstyle \{b,d\}\cap\{{+1,-1}\}= \varnothing , entonces la reducibilidad implica que el término independiente tiene dos divisores no triviales y por tanto no puede ser primo.

Polinomios irreducibles de Q[x][editar]

Lema de Gauss: Si un polinomio \scriptstyle P(x) es irreducible sobre \scriptstyle \mathbb{Z}[X], entonces también es irreducible considerado sobre \scriptstyle \mathbb{Q}[X].[1]

Polinomios irreducibles de R[x][editar]

Los polinomios irreducibles sobre \scriptstyle \mathbb{R}[X] son los monomios y los polinomios \scriptstyle x^2+bx+c de grado 2, tales que su discriminante sea negativo, es decir:

\Delta < 0;\, \qquad \Delta = b^2 - 4c

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. F. Zaldívar, 1996, p. 34

Bibliografía[editar]

  • Zaldívar, Felipe (1996). «1. Anillos». En UAM Itztapalapa. Teoría de Galois (1 edición). México: Anthropos. pp. 33–41. ISBN 84-7658-502-0. 

Enlaces externos[editar]