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Una Base de Hamel
H
{\displaystyle H}
espacio vectorial
X
{\displaystyle X}
cuerpo
(
K
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (K,+,\cdot )}
subconjunto de
X
{\displaystyle X}
1)Es linealmente independiente :
∀
F
⊆
H
,
F
f
i
n
i
t
o
,
∑
f
∈
F
λ
f
⋅
f
=
0
X
,
c
o
n
λ
f
∈
K
⇒
λ
f
=
0
K
{\displaystyle \forall F\subseteq H,F\;\mathrm {finito} \;,\sum _{f\in F}\lambda _{f}\cdot f=0_{X},\mathrm {con} \;\lambda _{f}\in K\Rightarrow \lambda _{f}=0_{K}}
2)Genera
X
{\displaystyle X}
∀
x
∈
X
,
∃
F
f
i
n
i
t
o
,
F
⊆
H
t
a
l
q
u
e
:
∑
f
∈
F
λ
f
⋅
f
=
x
,
c
o
n
λ
f
∈
K
{\displaystyle \forall x\in X,\exists \;F\;\mathrm {finito} ,F\subseteq H\;\mathrm {tal\;que:} \;\sum _{f\in F}\lambda _{f}\cdot f=x,\;\mathrm {con} \;\lambda _{f}\in K}
Es posible demostrar según el Axioma de Elección (o más directamente, en función a alguna de sus formas equivalentes como el Lema de Zorn o el Principio maximal de Hausdorff ), implica que todo espacio vectorial no trivial admita una Base de Hamel.
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Datos: Q5721625