Núcleo (matemática)

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En matemática, el núcleo de un operador A, denotado como Ker A o Nucl A, es el conjunto de todos los operando cuya imagen sea el vector nulo. En notación matemática:

\ker A = \{\mathbf{\vec v} \in V : A\mathbf{\vec v} = \mathbf{0} \}

Ejemplos[editar]

Considérese la función f(x, y)= x−y, definida para x e y números reales, que es lineal ya que se cumple que f(x+z, y+w)=(x+z)−(y+w)=f(x, y)+f(z, w). Su núcleo consiste en todos aquellos vectores cuya primera y segunda coordenada coinciden, en concreto el conjunto:

(x,x):\forall x\in\mathbb{R}

que es el mismo que la variedad lineal del vector (1,1), que describe la recta y=x en el espacio vectorial ortonormal \mathbb{R}^2.

El núcleo del vector (1,2,3) al definirse una forma bilineal con una matriz de conexión identidad (por ejemplo el producto vectorial habitual) son todos aquellos vectores conjugados (también llamados ortogonales en un espacio vectorial no abstracto) cuyo producto sea nulo.


\begin{pmatrix} 
1 & 2 & 3\\
\end{pmatrix}
\cdot
\mathbf I
\cdot
\begin{pmatrix} 
x^1 \\
x^2 \\
x^3 
\end{pmatrix}
=0

Deben cumplir la ecuación cartesiana:

x^1+x^2+x^3=0

o resolviendo el sistema (con dos parámetros cualesquiera) ser variedad lineal de los vectores: \zeta \begin{Bmatrix} (-2,1,0),(-3,0,1) \end{Bmatrix}.

Propiedades[editar]

Si A es una matriz su núcleo es un subespacio vectorial del espacio vectorial total. La dimensión de este subespacio se llama nulidad de A. Se calcula como el número de filas que no tienen pivotes al reducir por filas la matriz A. El teorema del rango establece que el rango de cualquier matriz más su nulidad es igual al número de columnas de la matriz.

Véase también[editar]

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