Modus tollendo tollens

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En lógica proposicional, el 'modus tollens' (o modus tollendo tollens[1] [2] [3] [4] o también negación del consecuente)[5] (en latín significa "el camino que niega al negar")[6] es una forma de argumento válida y una regla de inferencia.

Los primeros en declarar explícitamente la forma de argumento modus tollens fueron los estoicos.[7]

La regla de inferencia modus tollens, también conocida como la ley de la contraposición, valida la forma de inferencia P implica Q y la contradictoria de Q, a la contradictoria de P.

La regla modus tollens se puede afirmar formalmente como:

\frac{P \to Q, \neg Q}{\therefore \neg P}

donde P \to Q significa "P implica Q", \neg Q significa "no es el caso de que Q" (o en resumen "no Q"). Entonces, cada vez "P \to Q" y "\neg Q" cada una parece por sí mismas como una línea de una prueba, "\neg P" se puede colocar válidamente en una línea posterior. La historia de la regla modus tollens se remonta a la antigüedad.[8]

El modus tollens está estrechamente relacionado con el modus ponens. Hay dos formas similares, pero no válidas, de argumento: afirmación del consecuente y negación del antecedente.

Notación formal[editar]

La regla del modus tollens puede escribirse en subsiguiente notación:

P\to Q, \neg Q \vdash \neg P

donde \vdash es un símbolo metalógico que significa que \neg Q es una consecuencia sintáctica de P \to Q y \neg Q en algún sistema lógico;

o como la afirmación de una tautología verdad-funcional o teorema de la lógica proposicional:

((P \to Q) \and \neg Q) \to \neg P

donde P y Q son proposiciones expresadas en algún sistema formal.

o incluyendo supuestos:

\frac{\Gamma \vdash P\to Q ~~~ \Gamma \vdash \neg Q}{\Gamma \vdash \neg P}

aunque dado que la regla no cambia el conjunto de suposiciones, esto no es estrictamente necesario.

Muchas veces, se ven reescrituras más complejas que involucran modus tollendo, por ejemplo, en la teoría de conjuntos:

P\subseteq Q
x\notin Q
\therefore x\notin P

("P es un subconjunto de Q. x no está en Q. Por lo tanto, x no está en P.")

También en la lógica de predicados de primer orden:

\forall x:~P(x) \to Q(x)
\exists x:~\neg Q(x)
\therefore \exists x:~\neg P(x)

("Para todo x si x es P entonces x es Q. Existe algún x que no es Q. Por lo tanto, existe algún x que no es P.")

En sentido estricto no se trata de instancias de tollendo modus, pero podrán derivarse utilizando modus tollens utilizando algunas medidas adicionales.

Explicación[editar]

El argumento tiene dos premisas. La primera premisa es un condicional o sentencia "si-entonces", por ejemplo que si P entonces Q. La segunda premisa es que no es el caso de Q. A partir de estas dos premisas, se puede concluir lógicamente que no es el caso de P.

Veamos un ejemplo:

Si el perro guardián detecta un intruso, el perro guardián ladra.
El perro guardián no ladró.
Por lo tanto, el perro guardián no detectó ningún intruso.

Suponiendo que las premisas son verdaderas (el perro ladra si detecta un intruso, y de hecho no ladra), se deduce que ningún intruso ha sido detectado. Este es un argumento válido, ya que no es posible que la conclusión sea falsa si las premisas son verdaderas. (Es concebible que haya habido un intruso que el perro no detectó, pero eso no invalida el argumento; la primera premisa es "Si el perro detecta un intruso". El hecho importante es que el perro detecta o no detecta un intruso, no si este existe.

Otro ejemplo:

Si yo soy el asesino del hacha, entonces puedo usar un hacha.
No puedo usar un hacha.
Por lo tanto, yo no soy el asesino del hacha.

Relación con el modus ponens[editar]

Cada uso de modus tollens se puede convertir a un uso de modus ponens y un uso de la transposición de la premisa de que es una implicación material. Por ejemplo:

Si P, entonces Q (premisa - implicación material)
Si no Q, entonces no P. (derivado mediante transposición)
No Q. (premisa) Por lo tanto, no P. (derivado por modus ponens)

Del mismo modo, cada uso de modus ponens se puede convertir a un uso de modus tollens y transposición.

Justificación vía tabla de verdad[editar]

La validez del modus tollens pueda demostrar claramente a través de una tabla de verdad.

p q p → q
T T T
T F F
F T T
F F T

En los casos de modus tollens asumimos como premisas que p → q es verdadero y q es falso. Solo hay una línea de la tabla—la cuarta línea—que satisface estas dos condiciones verdaderas. En esta línea, p es falsa. Por lo tanto, en todos los casos en los que p → q es verdadero y q es falso, p debe también ser falso.

Prueba formal[editar]

Vía silogismo disyuntivo[editar]

Paso Proposición Derivación
1 P\rightarrow Q Premisa
2 \neg Q Premisa
3 \neg P\or Q Implicación material (1)
4 \neg P Silogismo disyuntivo (2,3)

Vía reductio ad absurdum[editar]

Paso Proposición Derivación
1 P\rightarrow Q Premisa
2 \neg Q Premisa
3 P Asunción
4 Q Modus ponens (1,3)
5 Q \and \neg Q Introducción de la conjunción (2,4)
6 \neg P Reductio ad absurdum (3,5)

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. University of North Carolina, Philosophy Department, Logic Glossary. Consultado el 31 de octubre de 2007. (en inglés)
  2. Copi y Cohen
  3. Hurley
  4. Moore y Parker
  5. Sanford, David Hawley. 2003. If P, Then Q: Conditionals and the Foundations of Reasoning. Londres, RU: Routledge: 39 "[Modus] tollens is always an abbreviation for modus tollendo tollens, the mood that by denying denies. (en inglés)"
  6. Stone, Jon R. 1996. Latin for the Illiterati: Exorcizing the Ghosts of a Dead Language. Londres, RU: Routledge: 60. (en inglés)
  7. "Stanford Encyclopedia of Philosophy: Ancient Logic: The Stoics"
  8. Susanne Bobzien (2002). "The Development of Modus Ponens in Antiquity", Phronesis 47. (en inglés)

Enlaces Externos[editar]