Consecuente

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En teoría de la prueba, un consecuente se trata de una declaración formalizada de verificación que se utiliza frecuentemente cuando se está especificando el cálculo para el método deductivo. En el cálculo secuencial, se utiliza el nombre secuencial para representar una estructura que puede ser considerada como un tipo específico de juicio, característica del cálculo secuencial.

Explicación[editar]

El consecuente tiene la forma

\Gamma\vdash\Sigma

donde tanto Γ y Σ son secuencias de fórmulas lógicas (es decir, tanto el número como el orden de las fórmulas se tienen en cuenta). Por lo general, se hace referencia al símbolo \vdash como Ratchet que, generalmente, se suele leer/interpretar como "prueba" o "causa". Ese símbolo no pertenece al lenguaje, sino al metalenguaje utilizado en la discusión de la evidencia. En una subsiguiente, Γ se denomina antecedente y Σ se denomina consecuente.

Significado intuitiva[editar]

El significado intuitivo de un subsiguiente \Gamma\vdash\Sigma es tal que, bajo el supuesto de Γ, es demostrabe la conclusión de Σ. Clásicamente, las fórmulas a la izquierda del trinquete pueden ser interpretadas como una conjunción, mientras que las fórmulas de la derecha pueden considerse como una disyunción. Esto significa que si todas las fórmulas en el conjunto Γ fueran verdaderas, entonces por lo menos una fórmula Σ también tiene que ser verdadera. Si el sucedente está vacío, se interpreta esta situación como una falsedad, es decir, \Gamma\vdash significa que Γ/implica falsedad y por lo tanto es inconsistente. Por otro lado, asumimos un vacío como verdadero, es decir, \vdash\Sigma significa que Σ procede sin ningún supuesto, o sea, la disyunción es siempre verdadera. Una afirmación lógica se ve como un secuente en el formato \vdash\Sigma.

Son posibles otras explicaciones intuitivas equivalentes. Por ejemplo, \Gamma\vdash\Sigma puede leerse como una afirmación de que no es probable que se produzca un caso en el que todas las fórmulas de Γ sean verdaderas y todas las fórmulas de Σ sean falsas (esto está relacionado con la regla de inferencia de la doble negación).

En cualquier caso, estas lecturas intuitivas son de propósito meramente pedagógico. Cómo las pruebas formales en teoría de la prueba son puramente sintáctica, la semántica de (o derivación de) un subsiguiente se da solo por las propiedades del cálculo que determina las reglas de inferencia.

Salvo cualquier contradicción en la definición técnica dada anteriormente, podemos describir consecuentes en la misma forma lógica. La expresión \Gamma representa un conjunto de suposiciones con las cuales comenzamos nuestro proceso lógico. Por ejemplo: "Sócrates es humano" y "Todos los humanos son mortales". El símbolo \Sigma representa una conclusión lógica es fruto del resultado de esas premisas. Por ejemplo, la conclusión "Sócrates es mortal" es fruto del resultado de una formalización razonable de los supuestos mencionados anteriormente, y por lo tanto se puede insertar en el lado derecho, \Sigma, del trinquete. Por lo tanto, el símbolo \vdash puede ser interpretado como el proceso de razonamiento, o "por lo tanto" en español.

Ejemplo[editar]

Un típico consecuente podría ser:

 \phi,\psi\vdash\alpha,\beta

El consecuente afirma que o \alpha o \beta pueden ser demostradas a partir de \phi y \psi.

Propiedad[editar]

Como toda fórmula en el antecedente (lado izquierdo del torniquete) debe ser verdadera para que se pueda concluir como verdadera, al menos, una de las fórmulas presentes en el sucedente (parte derecha de la carraca), el hecho de adicionar fórmulas a cualquiera de los lados resulta en un consecuente más débil, mientras que el acto de remover las fórmulas de cualquiera de los lados resulta en un consecuente fuerte.

Reglas[editar]

La mayoría de los sistemas de prueba proveen maneras de deducir un subsiguiente a partir de otro. Estas regla de inferencia se escriben con una lista subsiguiente por encima y por debajo de una línea. Esto indica que, si todo lo que se encuentra encima de la línea es verdadero, entonces todo lo que está por debajo de la línea también es verdadero.

Una regla típica es:

 \frac{\Gamma,\alpha\vdash\Sigma\qquad \Gamma\vdash\Sigma,\alpha}{\Gamma\vdash\Sigma}

Este ejemplo indica que, si es posible deducir que \Gamma,\alpha lleva a \Sigma y que \Gamma lleva a \Sigma,\alpha, entonces también es posible deducir que \Gamma lleva a \Sigma.

Variaciones[editar]

La noción general de un consecuente, introducida en este artículo, puede ser especializada en diversas formas. Un consecuente se llama intuicionístico si existe a lo sumo una fórmula en el sucedente. Este forma es requisito para obtener métodos de cálculo para la lógica intuicionista. Del mismo modo, se pueden obtener los métodos de cálculo para la lógica intuicionista dual, que es una tipo de lógica paraconsistente, exigiendo que los consecuentes tengan una fórmula en el antecedente.

En muchos casos, también se asume que los consecuentes consisten en multiconjuntos o conjuntos en lugar de secuencias matemáticas. Por lo tanto, es posible no tener en cuenta el orden e incluso el número de ocurrencias de las fórmulas. Para la lógica proposicional, esto no es un problema, ya que las conclusiones que se pueden extraer de la colección de premisas no dependen de estos datos. En la lógica subestrutural, sin embargo, estos datos pueden tener cierta importancia.

Historia[editar]

Históricamente, los consecuentes fueron introducidos por Gerhard Gentzen, con el objetivo de especificar el famoso cálculo de consecuentes. La palabra usada originalmente fue la palabra alemana Sequenz. En inglés, sin embargo, la palabra Sequence es ahora considerada como una traducción de la palabra alemana Folge, y que, muchas veces, es utilizada en matemáticas. El término Sequent, por lo tanto, se creó como una traducción alternativa de la expresión en alemán. Del mismo modo, en el idioma español, se utiliza el término "consecuente".

Véase también[editar]