Permutación

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En matemáticas, una permutación es la variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto.

Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".

Definición formal[editar]

La definición intuitiva de permutación, como ordenamientos o arreglos de los elementos de un conjunto se formaliza con el uso del lenguaje de funciones matemáticas.

Una permutación de un conjunto X es una función biyectiva de dicho conjunto en sí mismo.

Ejemplo de permutación considerada como función biyectiva.

Para ilustrar la definición, retomemos el ejemplo descrito en la introducción. En el ejemplo, X={1, 2, 3}.

Entonces, cada correspondencia uno a uno entre el conjunto {1, 2, 3} a sí mismo equivale a una forma de ordenar los elementos.

Por ejemplo, la asignación biyectiva dada por

  • 1 → 1
  • 2 → 2
  • 3 → 3

puede hacerse corresponder al ordenamiento "1, 2, 3".

Por otro lado, la asignación biyectiva dada por

  • 1 → 3
  • 2 → 2
  • 3 → 1

puede hacerse corresponder al ordenamiento "3, 2, 1".

En la definición de permutación, no se establece condición alguna sobre X, el cual puede incluso ser infinito. Sin embargo, es común considerar únicamente el caso en que X es un conjunto finito al estudiar permutaciones.

En combinatoria[editar]

La combinatoria trata del número de diferentes maneras que existen de considerar conjuntos formados a partir de elementos de un conjunto dado, respetando ciertas reglas, como el tamaño, el orden, la repetición, la partición. Así un problema combinatorio consiste usualmente en establecer una regla sobre cómo deben ser las agrupaciones y determinar cuántas existen que cumplan dicha regla. Básicamente, tres asuntos: permutaciones, combinaciones y variaciones (aunque se puede considerar a las permutaciones como un tipo especial de variaciones), todas sin repetición o con ella.

Un tipo importante de esas agrupaciones son las llamadas permutaciones. Dada una n-tupla ordenada de elementos de un conjunto, el número de permutaciones es el número de n-tuplas ordenadas .

Fórmula del número de permutaciones[editar]

Dado un conjunto finito A \,\! de n\,\! elementos, el número de todas las permutaciones es igual a factorial de n:
n!=n(n-1)(n-2)\cdots 1\,\!.

Demostración: Dado que hay n \,\! formas de escoger el primer elemento y, una vez escogido éste, sólo tenemos (n-1) \,\! formas de escoger el segundo elemento, y así sucesivamente, vemos que cuando llegamos al elemento k-ésimo sólo tenemos [n-(k-1)] \,\! posibles elementos para escoger, lo que nos lleva a que tenemos n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1 \,\! formas de ordenar el conjunto, justamente lo que enunciamos anteriormente. \Box \,\!.

Ejemplo: sea el conjunto A={1,2,3} en este caso hay 6 permutaciones, en forma compacta: 123, 132, 213, 231, 312, 321. En álgebra, para estudiar los grupos simétricos se presentan entre paréntesis y en dos filas, en la primera siempre aparece 1 2 3.

Una variante de lo mismo, si se va a formar un comité que involucra presidente, tesorero y secretario, habiendo tres candidatos a, b, c ; cuando se elige por sorteo los cargos sucesivamente, hay seis posibilidades u ordenaciones: abc, acb, bca, bac, cab, cba.

En teoría de grupos[editar]

Notaciones[editar]

Representación gráfica de la permutación σ que revela su estructura compuesta por 2 ciclos de longitud 4.

La primera forma de escribir una permutación σ, aunque no es la más compacta, consiste en escribirla en forma de matriz de dos filas, situando en la primera fila los elementos del dominio 1, 2, 3,...,n, y en la segunda las imágenes correspondientes a los elementos reordenados σ(1), σ(2), σ(3),...,σ(n).
Por ejemplo, dado el conjunto ordenado \{1,...,8\} podemos expresar una permutación \sigma sobre éste mediante una matriz de correspondencias:

\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 4 & 5 & 7 & 6 & 1 & 8 & 2 \end{pmatrix}

Claramente es biyectiva, ya que podemos encontrar una aplicación inversa \sigma^{-1} de forma que su composición genera la aplicación identidad. Para ello, en primer lugar intercambiamos las filas y finalmente reordenamos las columnas de modo que los elementos del dominio queden ordenados de forma natural:

\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 & 7 & 6 & 1 & 8 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 6 & 8 & 1 & 2 & 3 & 5 & 4 & 7 \end{pmatrix}

Notación de ciclos[editar]

Existe otra notación más compacta, llamada notación de ciclos. Un ciclo de longitud s es una permutación que intercambia cíclicamente s elementos y fija los restantes.

Esta notación revela mejor la estructura interna de la permutación. Para ello:

  1. Empezamos con cualquier elemento. Lo escribimos, a su derecha escribimos su imagen, a la derecha de esta, la imagen de su imagen, y seguimos así hasta que se complete un ciclo.
  2. Luego cogemos cualquier elemento no contenido en el primer ciclo, volvemos a escribir su imagen a su derecha, y continuamos hasta completar el segundo ciclo.
  3. El proceso continúa hasta que la permutación entera ha quedado descrita como producto de ciclos disjuntos.

Siguiendo con el mismo ejemplo de antes, en notación de ciclos, \sigma quedaría expresada como composición de dos ciclos:

\sigma= (1 3 5 6 )(2 4 7 8)

Descomposición de una permutación en ciclos disjuntos[editar]

La descomposición realizada por el procedimiento anterior no es única en principio, pues podrían haberse obtenido cualquiera de estos resultados equivalentes:

\sigma = (1 3 5 6)(2 4 7 8)=(2 4 7 8) (1 3 5 6)= (8 2 4 7)(6 1 3 5)

La descomposición canónica de una permutación como producto de ciclos se obtiene colocando en primer lugar de cada ciclo el número más pequeño del mismo. Posteriormente se procede a la colocación de los ciclos, colocando primero el ciclo cuyo primer elemento sea menor. Frecuentemente, suelen omitirse los ciclos de longitud 1. Así la permutación (1 3)(2)(4 5) se escribe simplemente como (1 3)(4 5).

Descomposición de una permutación en trasposiciones[editar]

Loupe light.svg Permutaciones de 4 elementos

De izquierda a derecha aparecen las permutaciones en forma matricial, en forma de vector y como producto de trasposiciones.Los números a la derecha indican la cantidad de trasposiciones con que se puede escribir cada permutación (este número no es único, pero sí su paridad). Las permutaciones impares están marcadas con verde o naranja.

Una trasposición es una permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes. Dicho de otro modo, es un ciclo de longitud 2. Una propiedad interesante es que cualquier permutación se puede construir como una composición de transposiciones, aunque no de manera única. Dadas dos descomposiciones en transposiciones de una permutación se cumple que ambas usaran un número par o ambas usarán un número impar, eso permite definir de manera unívoca la signatura de una permutación.

Las trasposiciones permiten descomponer una permutación cualquiera de una forma diferente a la descomposición en ciclos. En particular, las trasposiciones que aparezcan no tendrán que ser disjuntas: Por ejemplo, el ciclo (1 2 3 4) = (1 2) (2 3) (3 4). Aquí el orden de aplicación es importante: en primer lugar (3 4) deja el 4 en su sitio definitivo y el 3 descolocado. Después (2 3) deja en su sitio definitivo el 3 y el 2 descolocado, que quedará recolocado definitivamente por (1 2).

Para ver que cualquier permutación descompone como producto de trasposiciones bastará ver que todo ciclo lo hace. De hecho, la descomposición del ciclo de nuestro ejemplo se generaliza a la fórmula:

 (a_1,\ldots, a_n) = (a_1,a_2)(a_2,a_3)\cdots(a_{n-1},a_n).

No habrá unicidad en la descomposición, ni siquiera en el número de trasposiciones necesarias. Pero se demuestra que si \sigma admite dos descomposiciones distintas con n y con m trasposiciones, entonces n y m tendrán la misma paridad (serán simultáneamente pares o impares). Dada una permutación cualquiera, se define el siguiente morfismo de grupos:

\varepsilon:S_n \to (\{-1,1\},\cdot) \approx (\mathbb{Z}_2,+),
\qquad \varepsilon(\sigma) = (-1)^m

Donde \scriptstyle S_n es el grupo simétrico de n elementos y m es un número entero, tal que existen trasposiciones \scriptstyle \tau_i tales que:

\sigma = \tau_1\tau_2\dots\tau_m \in S_n

Permutación par y permutación impar[editar]

Llamaremos permutación par (resp. impar) a la que se escribe como composición de un número par (resp. impar) de trasposiciones.

Como ejemplo, de las 6=3! permutaciones del conjunto {1, 2, 3}, escritas en notación de ciclos:

  • (1 2), (2 3) y (1 3) son, de forma trivial, impares.
  • (1 2 3) y (1 3 2) son pares, como es fácil de comprobar al aplicar la fórmula anterior de descomposición de un ciclo en trasposiciones.
  • e (la identidad) también es par.

En general, se demuestra que la mitad de las n! permutaciones de un conjunto de n elementos son pares y la otra mitad impares. Esto surge como consecuencia directa de la existencia del morfismo \varepsilon:S_n \to (\{-1,1\},\cdot) que tiene como núcleo justamente a las permutaciones pares.

Estructura de grupo[editar]

Dado un número natural n \geq 1, consideramos el conjunto X=\{1,2,...,n\}. Definimos el grupo de permutaciones de n elementos, que denotaremos por S_n, o lo que es lo mismo, el conjunto de aplicaciones biyectivas de X a X.

Las permutaciones pares forman un subgrupo normal de índice 2 del grupo Sn, al que llamaremos grupo alternado, y notaremos por A_n.

Dato histórico[editar]

El estudio de las permutaciones de las raíces de ecuaciones algebraicas le permitió a Galois elaborar los inicios de la teoría de grupos y usar este vocablo, por primera vez, en matemáticas. Y empezó por los grupos no abelianos.

El concepto de permutación aparece en la obra hebrea Sefer Yetzirah (El libro de la creación), un manuscrito elaborado por un místico entre el año 200 y el 600. Pero existía ya un resultado anterior de Xenócrates de Calcedonia (396-314 a.C.)[1]

Referencias[editar]

  1. Grimaldi, Ralph: «Matemáticas discreta y combinatoria» 0-201-65376-1 , pág.44

Véase también[editar]