Matriz permutación

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

La matriz permutación es la matriz cuadrada con todos sus n×n elementos iguales a 0, excepto uno cualquiera por cada fila y columna, el cual debe ser igual a 1. De acuerdo a esta definición existen n! matrices de permutación distintas, de las cuales una mitad corresponde a matrices de permutación par (con el determinante igual a 1) y la otra mitad a matrices de permutación impar (con el determinante igual a -1).

Para n = 3 se tiene:

Matrices de permutación par:


\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0  \\     
  0 & 1 & 0  \\   
  0 & 0 & 1  \\   
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  0 & 0 & 1  \\     
  1 & 0 & 0  \\   
  0 & 1 & 0  \\   
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  0 & 1 & 0  \\     
  0 & 0 & 1  \\   
  1 & 0 & 0  \\   
\end{pmatrix}

Matrices de permutación impar:


\begin{pmatrix}
  0 & 0 & 1  \\     
  0 & 1 & 0  \\   
  1 & 0 & 0  \\   
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  0 & 1 & 0  \\     
  1 & 0 & 0  \\   
  0 & 0 & 1  \\   
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  1 & 0 & 0  \\     
  0 & 0 & 1  \\   
  0 & 1 & 0  \\   
\end{pmatrix}

Puede notarse que las matrices de permutación conforman un grupo de orden n! respecto al producto.

Propiedades[editar]

  • El elemento neutro del grupo es la matriz identidad.
  • El elemento inverso de cada elemento del grupo de matrices de permutación es la matriz traspuesta correspondiente.
  • Cada elemento del grupo de matrices de permutación es una matriz ortogonal.
  • El producto de matrices de permutación par siempre genera una matriz de permutación par.
  • El producto de matrices de permutación impar siempre genera una matriz de permutación par.
  • El producto de matrices de permutación de paridad distinta siempre genera una matriz de permutación impar.
  • Observe que las matrices de permutación par conforman un semigrupo y que además el grupo de matrices de permutación no es conmutativo.
  • Cada elemento del grupo de matrices de permutación fuera del semigrupo es una matriz simétrica.

Véase también[editar]