Modus ponendo ponens

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En lógica proposicional, modus ponendo ponens (en latín significa "la forma en que se afirma afirmando", generalmente abreviado MP o modus ponens[1] [2] [3] [4] ) o eliminación del implica es una forma simple argumento válido y regla de inferencia.[5] Se puede resumir como "P implica Q; P se afirma siendo verdad, por lo que, por tanto, Q debe ser verdad." La historia del modus ponens se remonta a la antigüedad.[6]

Si bien el modus ponens es uno de los conceptos más utilizados en la lógica no debe confundirse con una ley lógica; más bien, es uno de los mecanismos aceptados para la construcción de pruebas deductivas que incluye la "regla de definición" y la "regla de sustitución".[7] Modus ponens permite eliminar una sentencia condicional de una prueba lógica o argumento (los antecedentes) y por lo tanto no llevan estos antecedentes adelante en una cadena alargada y constante de símbolos; por esta razón el modus ponens a veces se denomina la regla de la separación.[8] Enderton, por ejemplo, observó que "el modus ponens puede producir fórmulas más cortas de las más largas",[9] y Russell señaló que "el proceso de la inferencia no puede reducirse a los símbolos. Su único registro es la ocurrencia de ⊦ q [el consecuente]... una inferencia es el lanzamiento de una premisa verdadera, sino que es la disolución de una implicación".[10]

Una justificación para la "la confianza en la inferencia es la creencia de que si los dos ex afirmaciones [los antecedentes] no están en un error, la afirmación final de [el consecuente] no es un error".[11] En otras palabras: si un enunciado o proposición implica una segunda, y la primera afirmación o proposición es verdadera, entonces la segunda, también es verdadera. Si P implica Q y P es verdadera, entonces Q es verdadera.[12] Un ejemplo es:

Si está lloviendo, te esperará en el teatro.
Está lloviendo.
Por lo tanto, voy a cumplir en el teatro.

El modus ponens pueden establecerse formalmente como:

\frac{P \to Q,\; P}{\therefore Q}

donde la regla es que cada vez que una instancia de "PQ" y "P" aparece por sí mismos en líneas de una prueba lógica, Q puede ser colocado válidamente en una línea posterior; además, la premisa de P y la implicación "disuelve", su único rastro siendo el símbolo Q que se mantiene para su uso posterior, por ejemplo, en una deducción más compleja.

Está estrechamente relacionado con otra forma válida de argumento, modus tollens. Ambas tienen apariencia similar, pero al parecer formas no válidas, como la afirmación del consecuente, negando el antecedente, y evidencia de ausencia. El dilema constructivo es la versión disyuntiva del modus ponens. El silogismo hipotético está estrechamente relacionado con el modus ponens y a veces se lo considera como el "ponens modus doble."

Notación formal[editar]

La regla del modus ponens puede escribirse en subsiguiente notación:

P \to Q,\; P\;\; \vdash\;\; Q

donde ⊢ es un símbolo metalógico que significa que Q es una consecuencia sintáctica de PQ y P en algún sistema lógico;

o como la afirmación de una tautología verdad-funcional o teorema de la lógica proposicional:

((P \to Q) \land P) \to Q

donde P, y Q son proposiciones expresadas en algún sistema lógico.

Explicación[editar]

La forma de argumento tiene dos premisas (hipótesis). La primera premisa es la "si-entonces" o reclamación de condicional, a saber: que P implica Q. La segunda premisa es que P, el antecedente de la alegación condicional, es cierto. A partir de estas dos premisas se puede concluir lógicamente que Q, el consecuente o apódosis de la reclamación de condicional, también debe ser verdad. En inteligencia artificial, el modus ponens frecuentemente se los denomina encadenamiento hacia adelante.

Un ejemplo de un argumento que se ajuste a la forma modus ponens:

Si hoy es martes, entonces Juan se irá a trabajar.
Hoy es martes.
Por lo tanto, Juan irá a trabajar.

Este argumento es válido, pero esto no tiene nada que ver con si alguna de las declaraciones en el argumento es verdadera; para que modus ponens sea un argumento sólido, las premisas deberán ser verdaderas para cualquier instancia verdadera de la conclusión. Un argumento puede ser válido, pero, no obstante, poco sólido si una o más premisas son falsas; si un argumento es válido y todas las premisas son verdaderas, entonces el argumento es sólido. El argumento no solo es sólido, los martes (cuando Juan va a trabajar), pero es válido en todos los días de la semana. Un argumento proposicional usando modus ponens dice que es deductivo.

En cálculo secuencial de conclusión única, el modus ponens es la regla de corte. El teorema de eliminación del corte para un cálculo dice que cada prueba que implica Corte puede ser transformada (por lo general, por un método constructivo) en una prueba sin corte, y de ahí que el corte sea admisible.

La correspondencia de Curry-Howard entre pruebas y programas relaciona el modus ponens a la función aplicación: si f es una función del tipo PQ y x es de tipo P, entonces f x es de tipo Q.

Relación con el Modus Tollens[editar]

Cualquier regla Modus ponens puede probarse mediante una regla Modus Tollens y de transposición. La prueba es el siguiente.

1. P → Q
2. P /∴ Q
3.~Q → ~P 1 Transposición
4.~~ P 2 Doble Negación
5.~~ Q 3,4 Modus Tollens
6. 5 Doble negación

Justificación mediante tabla de verdad[editar]

La validez del modus ponens en la lógica clásica de dos valores se puede demostrar claramente demostrada utilizando una tabla de verdad.

p q pq
V V V
V F F
F V V
F F V


En los casos de modus ponens se asume como premisa que pq es verdadera y p es verdadera. Solo una línea de la tabla de verdad —la primera— satisface estas dos condiciones (p y pq). En esta línea, q también es verdad. Por lo tanto, cada vez que pq sea verdadero y p es verdadero, q debe también ser verdadero.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Stone, Jon R. (1996). Latin for the Illiterati: Exorcizing the Ghosts of a Dead Language. Londres, UK: Routledge: 60. 
  2. Copi y Cohen
  3. Hurley
  4. Moore y Parker
  5. Enderton 2001:110
  6. Susanne Bobzien (2002). The Development of Modus Ponens in Antiquity, Phronesis 47.
  7. Alfred Tarski 1946:47. Also Enderton 2001:110ff.
  8. Tarski 1946:47
  9. Enderton 2001:111
  10. Whitehead y Russell 1927:9
  11. Whitehead y Russell 1927:9
  12. Jago, Mark (2007). Formal Logic (en inglés). Humanities-Ebooks LLP. ISBN 978-1-84760-041-7. 

Bibliografía[editar]

  • Alfred Tarski 1946 Introduction to Logic and to the Methodology of the Deductive Sciences 2.ª edición, reprinted by Dover Publications, Mineola NY. ISBN 0-486-28462-X (pbk). (en inglés)
  • Alfred North Whitehead y Bertrand Russell 1927 Principia Mathematica to *56 (Segunda edición) edición de bolsillo 1962, Cambridge at the University Press, Londres, Reino Unido. No ISBN, no LCCCN. (en inglés)
  • Herbert B. Enderton, 2001, A Mathematical Introduction to Logic Second Edition, Harcourt Academic Press, Burlington MA, ISBN 978-0-12-238452-3. (en inglés)

Enlaces externos[editar]