Eliminación del bicondicional

Reglas de transformación
Lógica proposicional
Reglas de inferencia
Modus tollendo tollens / ponens Modus ponendo ponens / tollens Introducción del bicondicional / eliminación Introducción de la conjunción / eliminación Introducción de la disyunción / eliminación Silogismo disyuntivo / hipotético Dilema constructivo / destructivo Absorción
Reglas de reemplazo
Asociatividad Conmutatividad Distributividad Doble negación Leyes de De Morgan Transposición Implicación material Exportación Tautología Introducción de la negación
Lógica predicativa
Generalización / instanciación universal Generalización / instanciación existencial
Lógica modal

La eliminación del bicondicional es el nombre de dos reglas de inferencia válidas de la lógica proposicional. Esto nos permite inferir un condicional de un bicondicional. Si $(P\leftrightarrow Q)$ es verdadero, entonces $(P\to Q)$ es verdadero y $(Q\to P)$ también lo será.​ Por ejemplo, si bien es cierto que estoy respirando si y sólo si estoy vivo, entonces es verdad que si estoy respirando, estoy vivo; Asimismo, es verdad que si estoy vivo, estoy respirando. Las reglas pueden ser establecidas formalmente como sigue:

${\begin{array}{cl}&P\leftrightarrow Q\\\hline \therefore &P\to Q\\\end{array}}$

y

${\begin{array}{cl}&P\leftrightarrow Q\\\hline \therefore &Q\to P\\\end{array}}$

donde la regla es que cada vez que una instancia "$(P\leftrightarrow Q)$" aparezca en una línea de prueba, tanto "$(P\to Q)$" como "$(Q\to P)$" puede colocarse en la línea siguiente;

Notación formal

La regla de eliminación del bicondicional puede escribirse en notación subsiguiente:

$(P\leftrightarrow Q)\vdash (P\to Q)$

y

$(P\leftrightarrow Q)\vdash (Q\to P)$

donde $\vdash$ es el símbolo metalógico lo que significa que $(P\to Q)$ en el primer caso, y $(Q\to P)$ en otros son consecuencia sintáctica de $(P\leftrightarrow Q)$ en algún sistema lógico;

o como una declaración de verdadera tautología funcional o teorema de la lógica proposicional:

$(P\leftrightarrow Q)\to (P\to Q)$ $(P\leftrightarrow Q)\to (Q\to P)$

donde $P$ y $Q$ son proposiciones expresadas en algún sistema formal.

Enlaces externos

• Datos: Q4903712