Cuerpo finito

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En álgebra abstracta, un cuerpo finito, campo finito o campo de Galois (llamado así por Évariste Galois)[1] es un cuerpo definido sobre un conjunto finito de elementos. Los cuerpos finitos son importantes en teoría de números, geometría algebraica, teoría de Galois, y criptografía. Todos los cuerpos finitos tienen un número de elementos q = pn, para algún número primo p y algún entero positivo n. Para cada cardinalidad q así definida hay una y sólo una manera posible de definir un campo finito, por lo que todos los campos finitos del mismo orden son isomorfos entre sí.[2]

Clasificación[editar]

Dado que todo cuerpo de característica 0 contiene a los racionales y es por lo tanto infinito, todos los cuerpos finitos tienen característica p prima. Por lo tanto, su tamaño (o cardinalidad) es de la forma pn, para algún entero positivo n > 0 (pues el cuerpo es un espacio vectorial sobre el subcuerpo de cardinalidad p generado por el elemento 1). Sin embargo, no es cierto en general que todo cuerpo de característica prima sea finito.

Para todo primo p, los enteros módulo p forman un cuerpo de p elementos, denotado por Z/pZ (pues su grupo aditivo es isomorfo al grupo cíclico de p elementos), Fp, o GF(p); en algunos casos se usa Zp, aunque esta notación es evitada por teoristas de los números, pues puede crear confusión con el anillo de los números p-ádicos. Todo cuerpo con p elementos es isomorfo a éste.

Si q = pn es una potencia de un primo, existe (salvo isomorfismo) exactamente un campo con q elementos, en concreto, el cuerpo de descomposición de x^{p^n} - x sobre Z/pZ.[3] Dicho cuerpo se denota por Fq, F[pn] o GF(pn) y se puede construir de la siguiente manera:

El polinomio f(X) se puede hallar factorizando Xq-X sobre Fp. El campo Fq contiene una copia de Fp como subcampo.

No hay otros campos finitos.

Ejemplos[editar]

Cuerpo F[7][editar]

Sea F[7] el conjunto de los enteros módulo 7 bajo la adición y multiplicación módulo 7. Es decir, los elementos de F[7] son las clases de equivalencia representadas por los elementos [0], [1], [2], [3], [4], [5] y [6] donde:

  • [a] + [b] = [j], siendo [j] el resto de la división de (a+b)/7 ( por ejemplo [5] + [6] = [4], puesto que 5+6=11, que dividido por 7, da resto 4).
  • [a] x [b] = [k] donde [k] es el resto de la división de (h x i)/7 (Por ejemplo, [5] x [6] = [2], puesto que 5 x 6 = 30 y 30 entre 7, da como resto 2).

Se verifica que F[7] es un anillo conmutativo con elemento unitario [1]. Además se cumple:

  • [1] x [1] = [1] = [6] x [6].
  • [2] x [4] = [1] = [4] x [2].
  • [3] x [5] = [1] = [5] x [3].

Los elementos de F[7] distintos de cero forman un grupo abeliano bajo la multiplicación. F[7] es, pues, un campo. Puesto que tiene un número finito de elementos es un campo finito.

Cuerpo F[22][editar]

El cuerpo F[22] se construye como el anillo cociente entre el anillo de polinomios con coeficientes en F[2] sobre el ideal generado por un polinomio irreducible, por ejemplo, f(x) = x2 + x + 1.

F[4] = F_2[X] / \langle x^2 + x + 1\rangle

El cuerpo F4 puede representarse como el conjunto \{0, 1, \alpha, \alpha +1 \} donde la suma y la multiplicación quedan definidas considerando que \alpha^2 + \alpha + 1 = 0. Por ejemplo, para hallar

(\alpha) (\alpha +1) = (\alpha^2 + \alpha) = (\alpha^2 + \alpha + 1) + 1 = 1\ (ya que 1 + 1 = 0 en F2)

Para encontrar un inverso multiplicativo de \alpha en este campo, se debe encontrar un polinomio g(\alpha) tal que \alpha \times g(\alpha) = 1 \ mod \ (\alpha^2 + \alpha + 1); el polinomio g(\alpha) =\alpha + 1 cumple esta propiedad, de modo que es el inverso de \alpha.

Obsérvese que el campo F4 no tiene relación con el anillo Z4 de enteros módulo 4.

Otros ejemplos[editar]

Para construir el campo F[33], se comienza con el polinomio irreducible (en F3) x3 + x2 + x - 1. Se tiene entonces

F[3^3] = F_3[X] / \langle x^3 + x^2 + x - 1\rangle

De modo equivalente, F[33] = {ax2 + bx + c | a, b, cF3}, donde la multiplicación se define considerando que x3 + x2 + x - 1 = 0.

Las matrices 
   A =
   \begin{pmatrix}
      a_{0} & b_{0} \\
      -b_{0} & a_{0}
   \end{pmatrix}
con a0 y b0 elementos de Z3 forman un campo de 9 elementos, y el grupo multiplicativo de este campo, es cíclico, de orden 8. Es por tanto isomorfo a F[32].

Propiedades[editar]

  • Todos los elementos de F_q satisfacen la ecuación polinómica \quad x^q - x = 0.
Demostración
Dado un campo finito F_q de orden q = pn (con p primo), el grupo multiplicativo F^{\times}_q es de orden q-1, por lo que para todo x \in F^{\times}_q :\quad x^{q-1}=1, y por tanto  \quad x^q=x

Grupo multiplicativo[editar]

Dado un cuerpo F_q, su grupo multiplicativo F^{\times}_q es un grupo cíclico de orden q-1.[4]

Demostración[5]
La demostración se obtiene probando que todo subgrupo de F^{\times}_q es cíclico.

Sea G uno de tales subgrupos, de orden p^{e_1}_1p^{e_2}_2...p^{e_k}_k. Por el teorema fundamental de grupos finitos abelianos, G \cong Z_{p^{e_1}_1} \otimes Z_{p^{e_2}_2} \otimes ... \otimes Z_{p^{e_k}_k}
Sea m el mínimo común múltiplo de p^{e_1}_1p^{e_2}_2...p^{e_k}_k
Dado que todo \alpha  \in G satisface x^r - 1 = 0 para algún r que divide a m, entonces satisface x^m - 1 = 0
Puesto que x^m - 1 = 0 tiene como máximo m raíces en F, entonces n \leqslant m.
Por otro lado m  \leqslant |G|, por lo que m = n
Por tanto G contiene un elemento de orden n por lo que es cíclico.

Esto significa que si F es un campo finito de q elementos, siempre hay al menos un elemento xF tal que F = { 0, 1, x, x2,..., xq-2 }. Los elementos x que cumplen esta condición reciben el nombre de elementos primitivos y el número de ellos viene dado por \varphi (q-1), donde \varphi () es la función indicatriz de Euler.

Dado un elemento primitivo x, entonces para todo a ≠ 0 en F hay un único n ∈ {0,..., q - 2} tal que a = xn. El valor de n para un dado a se llama logaritmo discreto de a en base x. En la práctica, aunque calcular xn es relativamente trivial dado n, encontrar n para un a dado es un problema difícil, por lo que resulta de interés en criptografía.[6]

Subcuerpos[editar]

El cuerpo F_q (donde q=pm) contiene una copia de F_{q'} (donde q'=pn) si y sólo si n divide a m. En esta situación, F_{q'} es un subcuerpo de F_q, y F_q es una extensión de F_{q'}. La razón para la dirección "si" es que hay polinomios irreducibles de cualquier grado en Fpm.

Demostración
Es inmediato que \qquad [F_q:F_p] = m \qquad, y que \qquad [F_{q'}:F_p] = n

No es posible que \qquad F_P \subset F_{q'} \subset F_q \qquad a no ser que n divida a m.
Suponiendo entonces que m = n k y substituyendo \qquad y = p^n \qquad en la ecuación
y^m -1 = (y - 1) \cdot (y^{m-1} + ... + y + 1) \qquad se obtiene que q'-1 divide a q-1.
Puesto que el grupo multiplicativo F^{\times}_q es cíclico de orden q-1, y q'-1 divide a q-1
Existe \beta \in F^{\times}_q : \beta^{q'-1} = 1 \qquad, cuyas potencias q'-1 satisfacen x^{q'-1} - 1 = 0
Por tanto, \qquad x^{q'} - x \qquad descompone completamente a F_q, y sus raíces forman un cuerpo de orden q'.

Si se construyen los campos finitos de forma tal que Fpn esté efectivamente contenido en Fpm siempre que n divida a m, se puede tomar la unión de todos esos campos; ésta es también un campo de característica p, aunque infinito. Es la clausura algebraica de cada uno de los campos Fpn. Aun si no se construyen de esta manera los campos, se puede hablar de su clausura algebraica, aunque su construcción es ahora más delicada.

Teorema de Wedderburn[editar]

El teorema de Wedderburn, en ocasiones llamado pequeño teorema de Wedderburn para distinguirlo del teorema de Artin-Wedderburn, establece que todo dominio finito es un cuerpo. Por tanto, en lo que se refiere a los anillos finitos, no hay distinción entre dominios, anillos de división y cuerpos.[7] Este teorema es equivalente a afirmar que el grupo de Brauer de todo cuerpo finito es trivial.

El teorema fue demostrado por Joseph Wedderburn en 1905, lo que supuso un avance en el ámbito de los anilos conmutativos.[8]

Endomorfismo de Frobenius[editar]

La función

f:F_q \to F_q \quad

definida por

\quad f(x):=x^p \quad, donde \quad q=p^n

es biyectiva y un endomorfismo, con lo cual es un automorfismo de F. Es un caso particular de un tipo de homomorfismo llamado endomorfismo de Frobenius, en honor a Ferdinand Georg Frobenius. El hecho de que el mapa f sea sobreyectivo implica que todo campo finito es perfecto.

El automorfismo de Frobenius tiene orden n, y por lo tanto el grupo cíclico generado por éste es el grupo completo de automorfismos del cuerpo.

Los primeros cuerpos finitos[editar]

F2:

+ 0 1
0 0 1
1 1 0
× 0 1
0 0 0
1 0 1

F3:

+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
× 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1

F4:

+ 0 1 A B
0 0 1 A B
1 1 0 B A
A A B 0 1
B B A 1 0
× 0 1 A B
0 0 0 0 0
1 0 1 A B
A 0 A B 1
B 0 B 1 A

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Notas[editar]

  1. (Judson, 2012, p. 358)
  2. (Artin, 2011, p. 459)
  3. (Birkhoff y Mac Lane, 1999, p. 456)
  4. (Artin, 2011, p. 461)
  5. (Judson, 2012, p. 362)
  6. «Discrete logarithm». planetmath.org. Consultado el 10/09/2013.
  7. «proof of Wedderburn’s theorem». planetmath.org. Consultado el 12/09/2013.
  8. (Herstein, 1970, p. 366)

Bibliografía[editar]

Enlaces externos[editar]