Interpolación polinómica de Lagrange

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En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es una forma de presentar el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado. Lagrange publicó este resultado en 1795, pero lo descubrió Edward Waring en 1779 y fue redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.[1] Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo engañoso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más apropiado es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.

En esta imagen se muestran, para cuatro puntos ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)), la interpolation polinómica (cúbica) L(x), que es la suma de la bases polinómicas escaladas y0l0(x), y1l1(x), y2l2(x) y y3l3(x). La interpolación polinómica pasa exactamente por los cuatro puntos (llamados puntos de control) y cada base polinómica escalada pasa por su respectivo punto de control y se anula cuando x corresponde a los otros puntos de control.

Definición[editar]

Dado un conjunto de k + 1 puntos

(x_0, y_0),\ldots,(x_k, y_k)

donde todos los xj se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de Lagrange es la combinación lineal

L(x) = \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j(x)

de bases polinómicas de Lagrange

\ell_j(x) = \prod_{i=0,\, i\neq j}^{k} \frac{x-x_i}{x_j-x_i} = \frac{x-x_0}{x_j-x_0}\cdots \frac{x-x_{j-1}}{x_j-x_{j-1}}\frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}}\cdots \frac{x-x_{k}}{x_j-x_{k}}

Demostración[editar]

La función que estamos buscando es una función polinómica L(x) de grado k con el problema de interpolación puede tener tan solo una solución, pues la diferencia entre dos tales soluciones, sería otro polinomio de grado k a lo sumo, con k+1 ceros.

Por lo tanto, L(x) es el único polinomio interpolador.

Concepto[editar]

La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones. Usando una base monómica estándar para nuestro polinomio interpolador, llegamos a la matriz de Vandermonde. Eligiendo una base distinta, la base de Lagrange, llegamos a la forma más simple de matriz identidad = δi,j, que puede resolverse inmediatamente.

Uso[editar]

Ejemplo[editar]

La función tangente y su interpolador.

Se desea interpolar f(x)=\tan(x) en los puntos

x_0=-1.5 f(x_0)=-14.1014
x_1=-0.75 f(x_1)=-0.931596
x_2=0 f(x_2)=0
x_3=0.75 f(x_3)=0.931596
x_4=1.5 f(x_4)=14.1014

Con cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro (es decir, la máxima potencia será cuatro), al igual que cada componente de la base polinómica.

La base polinómica es:

\ell_0(x)={x - x_1 \over x_0 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_0 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_0 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_0 - x_4}
             ={1\over 243} x (2x-3)(4x-3)(4x+3)
\ell_1(x)={x - x_0 \over x_1 - x_0}\cdot{x - x_2 \over x_1 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_1 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_1 - x_4}
             =-{8\over 243} x (2x-3)(2x+3)(4x-3)
\ell_2(x)={x - x_0 \over x_2 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_2 - x_1}\cdot{x - x_3 \over x_2 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_2 - x_4}
             ={1\over 243} (243-540x^2+192x^4)
\ell_3(x)={x - x_0 \over x_3 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_3 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_3 - x_2}\cdot{x - x_4 \over x_3 - x_4}
             =-{8\over 243} x (2x-3)(2x+3)(4x+3)
\ell_4(x)={x - x_0 \over x_4 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_4 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_4 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_4 - x_3}
             ={1\over 243} x (2x+3)(4x-3)(4x+3)

Así, el polimomio interpolador se obtiene simplemente como la combinación lineal entre los \ell_i(x) y los valores de las abscisas:

{1\over 243}\Big(f(x_0)x (2x-3)(4x-3)(4x+3)-8f(x_1)x (2x-3)(2x+3)(4x-3)
+f(x_2)(243-540x^2+192x^4)-8f(x_3)x (2x-3)(2x+3)(4x+3) \,
+f(x_4)x (2x+3)(4x-3)(4x+3)\Big)\,
=-1.47748x+4.83456x^3.\,

Desventajas de su uso[editar]

Si se aumenta en número de puntos a interpolar (o nodos) con la intención de mejorar la aproximación a una función, también lo hace el grado del polinomio interpolador así obtenido, por norma general. De este modo, aumenta la dificultad en el cálculo, haciéndolo poco operativo manualmente a partir del grado 4, dado que no existen métodos directos de resolución de ecuaciones de grado 4, salvo que se puedan tratar como ecuaciones bicuadradas, situación extremadamente rara.

La tecnología actual permite manejar polinomios de grados superiores sin grandes problemas, a costa de un elevado consumo de tiempo de computación. Pero, a medida que crece el grado, mayores son las oscilaciones entre puntos consecutivos o nodos. Se podría decir que a partir del grado 6 las oscilaciones son tal que el método deja de ser válido, aunque no para todos los casos.

Sin embargo, pocos estudios requieren la interpolación de tan sólo 6 puntos. Se suelen contar por decenas e incluso centenas. En estos casos, el grado de este polimonio sería tan alto que resultaría inoperable. Por lo tanto, en estos casos, se recurre a otra técnica de interpolación, como por ejemplo a la Interpolación polinómica de Hermite o a los splines cúbicos

Otra gran desventaja, respecto a otros métodos de interpolación, es la necesidad de recalcular todo el polinomio si se varía el número de nodos.

Otras aplicaciones[editar]

Aunque el polinomio interpolador de Lagrange se emplea mayormente para interpolar funciones e implementar esto fácilmente en una computadora, también tiene otras aplicaciones en el campo del álgebra exacta, lo que ha hecho más célebre a este polinomio, por ejemplo en el campo de los proyectores ortogonales:

Sea un espacio vectorial complejo de dimensión finita E en el que definimos un producto escalar (no necesariamente el usual). Sea F un operador normal, tal que gracias al teorema de la descomposición espectral es igual a \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}P_{i}. Donde P_i son los proyectores ortogonales y \lambda_i los autovectores de F asociados a cada proyector. Entonces:

P_i=\prod_{i\neq j}\frac{F-\lambda_jI}{\lambda_i-\lambda_j}=l_i(F)

Siendo I la matriz identidad.


Demostración:

Haciendo uso de la descomponsición espectral y aplicando las propiedades de los proyectores:

l_i(F)=l_i( \sum_{j=1}^{n} \lambda_jP_j )= \sum_{j=1}^{n} l_i( \lambda_j )P_j = \sum_{j=1}^{n} \delta_{ij}P_j = P_i


Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Meijering, Erik (2002), «A chronology of interpolation: from ancient astronomy to modern signal and image processing», Proceedings of the IEEE 90 (3): 319–342, doi:10.1109/5.993400 .

Enlaces externos[editar]