Cuerpo de descomposición

En álgebra abstracta, se puede considerar el cuerpo de descomposición de un polinomio (o familia de polinomios) o de un cuerpo.

Cuerpo de descomposición de un polinomio

Dado un cuerpo K, y un polinomio no constante $p(X)\in K[X]$ (con coeficientes en K) de grado n > 0, se define el cuerpo de descomposición de p como un cuerpo $E_p$ que cumple:

• Que el polinomio $p(X)$ descompone completamente en $E_p$, es decir, que se puede expresar $p(X)$ como

$p(X)=\alpha\prod_{i=1}^n (X - \alpha_i)$, con $\alpha, \alpha_i \in K.$

• Que el cuerpo sea minimal con la propiedad anterior.

Es decir, el cuerpo de descomposición es el que resulta de adjuntar a K todas las raíces del polinomio $p(X)$: $E_p=K(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)$.

Cuerpo de descomposición de una familia de polinomios

El cuerpo de descomposición de una familia de polinomios $T\subseteq K[X]$ es, análogamente a lo anteriormente expuesto, el cuerpo minimal en el que descomponen completamente todos los polinomios $p(X)\in T \subseteq K[X]$.

Cuerpo de descomposición de un cuerpo

Dado un cuerpo K, el cuerpo de descomposición de K es el cuerpo de descomposición de la familia de polinomios K[X]; es decir, el cuerpo que contiene todas las raíces de todos los polinomios con coeficientes en K.

En este caso se le llama clausura algebraica de K y se le denota por $\bar K$.

Se cumple que cualquier cuerpo Ω algebraicamente cerrado que contenga a K, también contiene a $\bar K$:

$\forall \, \Omega \mbox{ algebr. cerrado, } K \subseteq \Omega \Rightarrow K \subseteq \bar K \subseteq \Omega$

Véase también

• Cuerpo de ruptura

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Splitting field» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Splitting Field en PlanetMath