Cuerpo de descomposición

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

En álgebra abstracta, se puede considerar el cuerpo de descomposición de un polinomio (o familia de polinomios) o de un cuerpo.

Cuerpo de descomposición de un polinomio[editar]

Dado un cuerpo K, y un polinomio no constante p(X)\in K[X] (con coeficientes en K) de grado n > 0, se define el cuerpo de descomposición de p como un cuerpo E_p que cumple:

  • Que el polinomio p(X) descompone completamente en E_p, es decir, que se puede expresar p(X) como
p(X)=\alpha\prod_{i=1}^n (X - \alpha_i), con \alpha, \alpha_i \in K.
  • Que el cuerpo sea minimal con la propiedad anterior.

Es decir, el cuerpo de descomposición es el que resulta de adjuntar a K todas las raíces del polinomio p(X): E_p=K(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n).

Cuerpo de descomposición de una familia de polinomios[editar]

El cuerpo de descomposición de una familia de polinomios T\subseteq K[X] es, análogamente a lo anteriormente expuesto, el cuerpo minimal en el que descomponen completamente todos los polinomios p(X)\in T \subseteq K[X].

Cuerpo de descomposición de un cuerpo[editar]

Dado un cuerpo K, el cuerpo de descomposición de K es el cuerpo de descomposición de la familia de polinomios K[X]; es decir, el cuerpo que contiene todas las raíces de todos los polinomios con coeficientes en K.

En este caso se le llama clausura algebraica de K y se le denota por \bar K.

Se cumple que cualquier cuerpo Ω algebraicamente cerrado que contenga a K, también contiene a \bar K:

\forall \, \Omega \mbox{ algebr. cerrado, } K \subseteq \Omega \Rightarrow K \subseteq \bar K \subseteq \Omega

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]