Identidad de Bézout

La identidad de Bézout o Lema de Bézout enuncia que si a y b son números enteros con máximo común divisor d, entonces existen enteros x e y tales que

$ax + by = d \,.$

Algoritmo

Los números x e y de la identidad de Bézout pueden determinarse mediante el algoritmo extendido de Euclides, pero no se determinan de forma unívoca:

$a(x - kb) + b(y + ka) = ax - kba + by + kba = ax + by \,$

Para todo a, b, x, y y k. Así dando a k cualquier valor entero y definiendo:

$x^\prime = x - kb \qquad y^\prime = y + ka \,$

se tiene que:

$ax^\prime + by^\prime = ax + by \,$.

Ejemplo

Se puede ilustrar, la no unicidad anterior, con un ejemplo: el máximo común divisor de 12 y 42 es 6, se puede escribir:

(-3)·12 + 1·42 = 6

y también

4·12 + (-1)·42 = 6.

De manera que, una de las soluciones es x = −3 e y = 1, y la otra solución es x = 4 e y = −1.

Generalizaciones

La identidad de Bézout no sólo funciona en el anillo de los enteros, sino que también es válido en cualquier otro dominio de ideales principales (DIP). Es decir, si R es un DIP, y a y b son elementos de $\mathbb{R}$, y d es el máximo común divisor de a y b, entonces existen x e y elementos de $\mathbb{R}$ tales que $ax + by = d \,$.

Véase también

• Ecuación diofántica lineal

Enlaces externos

• (inglés) Online calculator of Bézout's identity.
• Sencilla calculadora online de la identidad de Bézout.