Identidad de Bézout

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La identidad de Bézout enuncia que si a y b son números enteros con máximo común divisor d, entonces existen enteros x e y tales que

$ax + by = d \,$

Los números x e y pueden determinarse mediante el algoritmo extendido de Euclides, pero no se determinan de forma unívoca:

$a(x - kb) + b(y + ka) = ax - kba + by + kba = ax + by \,$

P para todo a, b, x, y y k. Así dando a k cualquier valor entero y definiendo:

$x^\prime = x - kb \qquad y^\prime = y + ka \,$

tenemos que:

$ax^\prime + by^\prime = ax + by \,$ .

Podemos ilustrar, la no unicidad anterior, con un ejemplo: el máximo común divisor de 12 y 42 es 6, y podemos escribir:

(-3)·12 + 1·42 = 6

y también

4·12 + (-1)·42 = 6.

La identidad de Bézout no sólo funciona en el anillo de los enteros, sino que también es válido en cualquier otro dominio de ideales principales (DIP). Es decir, si R es un DIP, y a y b son elementos de $\mathbb{R}$ , y d es el máximo común divisor de a y b, entonces existen x e y elementos de $\mathbb{R}$ tales que $ax + by = d \,$ .