Identidad de Bézout

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

La identidad de Bézout o Lema de Bézout enuncia que si a y b son números enteros con máximo común divisor d, entonces existen enteros x e y tales que

 ax + by = d \,.

Algoritmo[editar]

Los números x e y de la identidad de Bézout pueden determinarse mediante el algoritmo extendido de Euclides, pero no se determinan de forma unívoca:

a(x - kb) + b(y + ka) = ax - kba + by + kba = ax + by \,

Para todo a, b, x, y y k. Así dando a k cualquier valor entero y definiendo:

x^\prime = x - kb \qquad  y^\prime = y + ka \,

se tiene que:

ax^\prime + by^\prime = ax + by \,.

Ejemplo[editar]

Se puede ilustrar la no unicidad con un ejemplo.

12x + 42y = 6\,.

El máximo común divisor de 12 y 42 es 6. Una solución de la expresión anterior es:

12·(-3) + 42·1 = 6

Pero hay otras tales como:

12·4 + 42·(-1) = 6
12·11 + 42·(-3) = 6
12·18 + 42·(-5) = 6
etc.

El conjunto de soluciones se puede expresar como:

x = −3 + 7·k
y = 1 − 2·k

para cualquier valor entero de k.

Generalizaciones[editar]

La identidad de Bézout no sólo funciona en el anillo de los enteros, sino que también es válido en cualquier otro dominio de ideales principales (DIP). Es decir, si R es un DIP, y a y b son elementos de R, y d es el máximo común divisor de a y b entonces existen x e y elementos de R tales que  ax + by = d \,.

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]