Lema de Euclides

Portada Los elementos de Euclides, publicada en 1570 por Sir Henry Billingsley.

El lema de Euclides (del griego λῆμμα) es una generalización de la proposición 30 del libro VII de Elementos de Euclides. El lema asegura que:

Si n es un número entero y divide a un producto ab y es coprimo con uno de los factores, entonces n divide al otro factor. Euclides, 300 a. C.

Esto puede escribirse en notación moderna como:

$\mbox{Si } n \mid ab \mbox{ y } \operatorname{mcd}(n,a)=1, \mbox{ entonces } n \mid b$

La proposición 30 original, más conocida como primer teorema de Euclides dice que:

Si p es un número primo y divide al producto de dos enteros positivos, entonces el número primo divide al menos a uno de los números. Euclides, 300 a. C.

En notación moderna

$\mbox{Si } p \mid ab \mbox{, entonces } p \mid a \lor p \mid b$

El lema de Euclides se utiliza generalmente para demostrar otros teoremas, por ejemplo, es usado para demostrar el teorema fundamental de la aritmética.

Demostración

• Supongamos, sin pérdida de generalidad, que p es coprimo con a y veamos que p divide a b. Por definición, p y a

son coprimos si y sólo si mcd(a, p) = 1; y la identidad de Bézout nos asegura que existen números enteros x e y tales que:

$ax+py=1 \,\!$

• Que p divida a ab significa que existe un número entero r tal que pr = ab. Volviendo a la primera ecuación y multiplicando en ambos miembros por b, se obtiene:

$b(ax+py)=b \,\!$

• y, en consecuencia

$bax+bpy=b \,\!$

• Sabiendo que pr = ab, se obtiene

$prx+bpy=b \,\!$

• sacando p como factor común, queda:

$p(rx+by)=b \,\!$

• como rx+by es un número entero, se concluye que p divide a b. Q.E.D.

Véase también

• Elementos de Euclides
• Identidad de Bézout
• Algoritmo de Euclides

Referencias

• Trygve, N. (2001). Introduction to Number Theory. New York: Chelsea. ISBN 0-8218-2833-9
• Tom M., Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90163-9

Enlaces externos

• The Elements of Euclid, por Isaac Todhunter - Wikisource
• Elementos de Euclides.