Números primos entre sí

En matemáticas, dos números enteros a y b son números primos entre sí (o coprimos, o primos relativos), si, por definición, no tienen ningún factor primo en común, o, dicho de otra manera, si no tienen otro divisor común más que 1 y -1. Equivalentemente son primos entre sí, si y sólo si, su máximo común divisor es igual a 1.

Por ejemplo, 6 y 35 son primos entre sí, pero 6 y 27 no lo son porque ambos son divisibles por 3. El 1 es primo respecto de todos los enteros, mientras que 0 sólo lo es respecto de 1 y -1.

Un medio rápido para determinar si dos números enteros son primos entre sí es el algoritmo de Euclides.

Propiedades

Básicas

• El máximo común divisor de dos números primos entre sí a y b es 1. Por tanto, no existe ningún número primo que divida a ambos.

• Si dos números enteros a y b son primos entre sí, entonces existen dos enteros x e y tales que a·x + b·y = 1. (Identidad de Bézout)

• Si a y b son primos entre sí y a divide a un producto bc, entonces a divide a c. (Lema de Euclides)

• Los números enteros a y b son primos entre sí cuando b tiene un inverso para el producto módulo a; es decir, existe un número entero y tal que b·y ≡ 1 (mod a). Una consecuencia de esto es que si a y b son primos entre sí y bm ≡ bn (mod a), entonces m ≡ n (mod a). Dicho de otra manera, b es simplificable en el anillo Z/nZ de los enteros módulo a.

Otras propiedades

Los números 4 y 9 son coprimos. Por tanto, la diagonal del retículo 4 x 9 no interseca con ninguno de los otros puntos del retículo.

Los dos números enteros a y b son primos entre sí, si y sólo si, el punto de coordenadas (a, b) en un sistema cartesiano de coordenadas es "visible" desde el origen (0,0) en el sentido en que no hay ningún punto de coordenadas enteras situado entre el origen y (a,b).

La probabilidad de que dos números enteros elegidos al azar sean primos entre sí es igual a 6/π².

Dos números naturales a y b son primos entre sí, si y sólo si, los números 2^a-1 y 2^b-1 son primos entre sí.

El número de enteros que son primos entre sí a un entero positivo n, entre 1 y n, es dado mediante la función φ de Euler φ(n).

2 números son primos entre sí si son dos números consecutivos, ya que están separados por una distancia de una unidad

Generalización

Dos ideales I y J en un anillo conmutativo A son primos entre sí si I + J = A. Esto generaliza la identidad de Bézout. Si I y J son primos entre sí, entonces IJ = I∩J; además, si K es un tercer ideal tal que I contiene a JK, entonces I contiene a K.

Con esta definición, dos ideales principales (a) y (b) en el anillo de los números enteros Z son primos entre sí, si y sólo si, a y b son primos entre sí.

Véase también

• Número primo
• Máximo común divisor

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Relatively Prime» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Coprime en PlanetMath