Teorema de Artin-Wedderburn

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El teorema de Wedderburn-Artin establece que un anillo semisimple A es isomorfo a un producto de k\; anillos de matrices de orden n_i\; sobre anillos de división C_i\; donde k\;, n_i\; y C_i\; están determinados de forma única salvo el orden (i=1, 2, \dots, k)\;. Como consecuencia se obtiene que cualquier anillo simple y artiniano por la izquierda (o por la derecha) es isomorfo a un anillo de matrices de orden n sobre un anillo de división.

El teorema de Wedderburn-Artin reduce el problema de clasificar anillos simples sobre un anillo de división a clasificar anillos de división que contienen un anillo de división dado. Y esto todavía puede simplificarse más: el centro de un anillo de división será un cuerpo K. Por lo tanto, A es una K-álgebra que tiene a K como centro. Así, un álgebra simple de dimensión finita es un álgebra simple central sobre K. Consecuentemente, el teorema de Wedderburn-Artin reduce el problema de clasificar las álgebras simples centrales de dimensión-finita al problema de clasificar anillos de división con un centro dado de antemano.

Ejemplos[editar]

Sea \mathbb{R} el cuerpo de los números reales, \mathbb{C} el de los números complejos, y \mathbb{H} el anillo de división de los cuaterniones.

  • Toda álgebra simple de dimensión finita sobre \mathbb{R} es un anillo de matrices sobre \mathbb{R}, \mathbb{C} o \mathbb{H}.
  • Toda álgebra simple de dimensión finita sobre \mathbb{C} es un anillo de matrices sobre \mathbb{C} y por tanto, cada álgebra central simple sobre \mathbb{C} es un anillo de matrices sobre \mathbb{C}.
  • Toda álgebra central simple de dimensión finita sobre un cuerpo finito es un anillo de matrices sobre ese cuerpo.

Véase también[editar]