Aryabhata

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Aryabhata
2064 aryabhata-crp.jpg
Estatua de Aryabhata en los terrenos de la IUCAA, Pune, India. Como no existe información conocida sobre su apariencia, cualquier imagen de Aryabhata se origina de una concepción artística.
Nacimiento 476 EC
Fallecimiento 550 EC
Campo Matemáticas, astronomía
Conocido por Āryabhaṭīya, Arya-siddhanta

Aryabhata (en sánscrito: आर्यभटः Āryabhaṭa en el sistema AIST de transliteración para el sánscrito, léase aproximadamente como "Ariabata") o Aryabhata I[1] [2] (hacia 476 - 550 EC)[3] [4] [5] fue el primer gran matemático y astrónomo de la era clásica de la matemática en la India y la astronomía india.

La obra de Aryabhata trata principalmente sobre la matemática y la astronomía; también trabajó en la aproximación del número π.

Biografía[editar]

Nombre[editar]

Mientras que es usual tranlisterar su su nombre como Aryabhatta en analogía con otros nombres que tienen el sufijo "bhatta", su nombre es deletreado propiamente como Aryabhata: cada texto astronómico deletrea su nombre así,[6] incluyendo referencias de Brahmagupta hacia él "en más de un centenar de lugares por nombre".[7] Además, en la mayoría de los casos Aryabhatta no se ajusta a la métrica de todos modos.[6]

Fecha y lugar de nacimiento[editar]

Aryabhata menciona en el Aryabhatiya que había comprendido 3630 años en el Kali yugá, cuando tenía 23 años. Esto corresponde a 499 EC, e implica que había nacido en 476.[5]

Aryabhata nació en Taregna (literalmente, 'canción de las estrellas'), el cual es un pequeño pueblo en Bihar, India, alrededor de 30 km de la ciudad Pataliputra (actualmente Patna), y que actualmente la capital del estado de Bihar. Las evidencias justifican su nacimiento ahí. En Taregna, Aryabhata estableció un Observatorio Astronómico en el Templo del Sol del siglo VI.

No hay evidencia de que haya nacido fuera de Patliputra y viajado a Magadha, el centro de instrucción, cultura y conocimiento por sus estudios donde incluso estableció un instituto de enseñanza.[8] Sin embargo, los primeros textos budistas describen Ashmaka como más al sur, en dakshinapath o el Decán, mientras que otros textos describen que los Ashmakas habían peleado con Alejandro Magno.

Educación[editar]

Hay bastante certeza de que, en algún punto, fue a Kusumapura para estudios avanzados y vivió ahí por un tiempo.[9] Tanto la tradición hindú como la budista, así como Bhaskara I (629 EC), identifican Kusumapura como Pāṭaliputra, la moderna Patna.[6] Un verso menciona que Aryabhata fue el jefe de una institución (kulapati) en Kusumapura y, debido a que la universidad de Nalanda estaba en Pataliputra en ese tiempo y tenía un observatoria astronómico, se especula que Aryabhata puede haber sido también el jefe de la universidad de Nalanda.[6] Aryabhata también tiene la reputación de haber establecido un observatorio en el templo del Sol en Taregana, Bihar.[10]

Otras hipótesis[editar]

Alguna evidencia arqueológica sugiere que Aryabhata pudo haber tenido origen en el actual Kodungallur que fue la ciudad capital histórica de Thiruvanchikkulam del antiguo Kerala.[11] Por ejemplo, una hipótesis fue que aśmaka (sánscrito para "rocoso, pétreo") puede ser la región en Kerala que ahora es conocida como Koṭuṅṅallūr, basado en la creencia de que se conocía anteriormente como Koṭum-Kal-l-ūr ("ciudad de piedras duras"); sin embargo, viejos registros muestran que la ciudad era de hecho Koṭum-kol-ūr ("ciudad de gobernanza estricta"). De manera similar, el hecho de que varios comentarios en la Aryabhatiya han venido desde Kerala fue usado para sugerir que fue el lugar principal de vida y actividad de Aryabhata; sin embargo, muchos comentarios han venido de fuera de Kerala.

Aryabhata menciona "Lanka" en muchas ocasiones en el Aryabhatiya, pero su "Lanka" es una abstracción, ocupando un punto en el ecuador a la misma longitud que su Ujjain.[12]

Obra[editar]

Aryabhata es el autor de varios tratados en matemáticas y astronomía, algunos de los cuales están perdidos. Su mayor trabajo, Aryabhatiya, un compendio de matemáticas y astronomía, fue referido de manera extensa en la literatura matemática de la India y ha sobrevivido a los tiempos modernos. La parte matemática del Aryabhatiya cubre aritmética, álgebra, trigonometría plana, y trigonometría esférica. También contiene fracciones continuas, ecuaciones cuadráticas, sumas de series de potencias, y una tabla de senos.

El Arya-siddhanta, un trabajo grande sobre cálculos astronómicos, es conocido a través de los escritos del contemporáneo de Aryabhata, Varaja Mijira, y posteriores matemáticos y comentaristas, incluyendo a Brahmagupta y Bhaskara I. Este trabajo parece estar basado en el más viejo Suria-siddhanta y usa el cálculo del mediodía-noche, en contraposición a la salida del sol en Aryabhatiya. También contenía una descripción de varios instrumentos astronómicos: el gnomon (shanku-yantra), un instrumento de sombras (chhAyA-yantra), posiblemente dispositivos para medir ángulos, semicírculos y círculos (dhanur-yantra / chakra-yantra), un palo cilíndrico yasti-yantra, un dispositivo en forma de sombrilla llamado chhatra-yantra, y relojes de agua de al menos dos tipos, en forma de flecha y cilíndricos.[8]

Un tercer texto, el cual puede haber sobrevivido en la traducción árabe, es Al ntf o Al-nanf. Afirma ser una traducción de Aryabhata, pero el nombre en sánscrito de este trabajo no es conocido. Probablemente datado del siglo IX, es mencionado por el erudito persa y cronista de la India, Al-Biruni.[8]

Aryabhatiya[editar]

Los detalles directos del trabajo de Aryabhata son conocidos únicamente a partir del Aryabhatiya. Este nombre le fue fue dado a esta obra por comentaristas posteriores. El propio Aryabhata podría no haberle dado un nombre. Su discípulo Bhaskara I lo llama Aśmakatantra (o el tratado de los aśmaka o ashmaka). Es también ocasionalmente referido como Aryaśatasaṣṭa (literalmente, los 108 de Aryabhata), debido a que hay 108 versos en el texto. Está escrito en el estilo lacónico típico de la literatura sutra, en la cual cada línea es una ayuda a la memoria para un sistema complejo. Así, la explicación del significado es debida a comentaristas. El texto consiste en 108 versos y 13 versos introductorios, y está dividido en cuatro pādas o capítulos:

  1. Gitikapada: (13 versos): grandes unidades de tiempo (kalpa, manvantra, y yuga) los cuales presentan una cosmología diferente a textos anteriores como el Vedanga Jyotisha de Lagadha's (c. 1.er siglo AEC). Hay también una tabla de senos (jya), dada en un único verso. La duración de las revoluciones planetarias durante un mahayuga está dada como 4,32 millones de años.
  2. Ganitapada (33 versos): cubriendo medición (kṣetra vyāvahāra), aritmética y progresiones geométricas, gnomon/sombras (śankuchāyā), ecuaciones simples, cuadráticas, simultáneas, y indeterminadas.
  3. Kalakriyapada (25 versos): diferentes unidades de tiempo y un método para determinar las posiciones de los planetas para un día dado, cálculos relacionados con el mes bisiesto (adhikamāsa), kṣayatithis, y una semana de siete días con nombres para los días de la semana.
  4. Golapada (50 versos): Aspectos geométricos/trigonométricos de la esfera celeste, características de la eclíptica, el ecuador celeste, nodo, forma de la Tierra, la causa del día y la noche, la subida de los signos zodiacales en el horizonte, etc. Además, algunas versiones citan algunos colofones añadidos al final, ensalzando las virtudes del trabajo, etc.

El Aryabhatiya presentó un número de innovaciones en matemáticas y astronomía en forma de verso, las cuales fueron influyentes durante muchos siglos. La extrema brevedad del texto fue expkicada en detalle en comentarios de su discípulo Bhaskara I (Bhashya, c. 600 EC) y por Nilakantha Somayaji en su Aryabhatiya Bhasya (1465 EC). Fue no solamente el primero en encontrar el radio de la Tierra, sino que fue el único en los tiempos antiguos, incluyendo a los griegos y romanos, en encontrar el volumen de la Tierra.

Matemáticas[editar]

Sistema de notación posicional y el cero[editar]

El sistema de notación posicional, visto por primera vez en el Manuscrito Bakhshali del siglo III, estaba claramente dentro de su obra. Mientras que él no utilizaba un símbolo para el cero, el matemático francés Georges Ifrah explica que el conocimiento del cero estaba implícito en el sistema de notación posicional de Aryabhata como un marcador de posición para las potencias de diez con coeficientes nulos.[13]

Sin embargo, Aryabhata no utilizó la numeración brahmi. Continuando con la tradición sánscrita del periodo védico, utilizó las letras del alfabeto para denotar números, expresando cantidades, tales como la tabla de senos en una forma in a mnemotécnica.[14]

Aproximación de π[editar]

Aryabhata trabajó en la aproximación del número π, y puede haber llegado a la conclusión de que \pi es irracional. En la segunda parte del Aryabhatiyam (gaṇitapāda 10), él escribe:

caturadhikam śatamaṣṭaguṇam dvāṣaṣṭistathā sahasrāṇām

ayutadvayaviṣkambhasyāsanno vṛttapariṇāhaḥ.

"Añada cuatro a 100, multiplíquelo por ocho, y entonces añada 62,000. Mediante esta regla la circunferencia de un círculo con un diámetro de 20,000 puede ser aproximado."[15]

Esto implica que la relación entre la circunferencia y el diámetro es ((4 + 100) × 8 + 62000)/20000 = 62832/20000 = 3.1416, lo que es exacto hasta cinco cifras significativas.

Se especula que Aryabhata utilizó la palabra āsanna (aproximación), para indicar que no solo es esto una aproximación sino que el valor es inconmensurable (o irracional). Si esto es correcto, es una comprensión bastante sofisticada, debido a que la irracionalidad de pi fue probada en Europa solo hasta 1761 por Johann Heinrich Lambert.[16]

Después de que Aryabhatiya fuera traducido al árabe (c. 820 EC) esta aproximación fue mencionada en el libro de Al-Juarismi sobre álgebra.[8]

Trigonometría[editar]

En Ganitapada 6, Aryabhata da el área de un triángulo como

tribhujasya phalashariram samadalakoti bhujardhasamvargah

que se traduce como: "para un triángulo, el resultado de una perpendicular con el semi-lado es el área."[17]

Aryabhata discutió el concepto de seno en su obra con el nombre de ardha-jya, que literalmente significa "medio-acorde". por simplicidad, la gente comenzó llamándolo jya. Cuando los escritores árabes tradujeron sus obras del sánscrito al árabe, ellos lo refirieron como jiba. Sin embargo, en los escritos árabes las vocales se omiten, y fue escrito simplemente como <jb>. Posteriormente los escritores lo sustituyeron como con jaib, que significa "bolsillo" o "doblez" (en una prenda); en árabe, jiba es una palabra sin significado. Después en el siglo XII, cuando Gerardo de Cremona tradujo estos escritos del árabe al latín, reemplazó el jaib árabe con su contraparte latina, sinus, que significa "curva" o "cavidad". El código alfabético ha sido usado por él para definir un conjunto de incrementos. Si se usa la tabla de Aryabhata y se calcula el valor de sin(30) (correspondiente a hasjha) el cual es 1719/3438 = 0,5, el valor es correcto. Su código alfabético es comúnmente conocido como la cifra de Aryabhata.[18]

Ecuaciones indeterminadas[editar]

Un problema de gran interés para los matemáticos de la India desde tiempos antiguos ha sido encontrar soluciones enteras a ecuaciones que tienen la forma ax + by = c, un tema que ha llegado a ser conocido como ecuaciones diofánticas. Esto es un ejemplo del comentario de Bhāskara sobre Aryabhatiya:

Encontrar el número que da 5 como el residuo cuando es dividido por 8, 4 como el residuo cuando es dividido por 9, y 1 como el residuo cuando es dividido por 7

Esto es, encontrar N = 8x+5 = 9y+4 = 7z+1. Resulta que el valor más pequeño para N es 85. En general, las ecuaciones diofánticas pueden ser notablemente difíciles. Fueron discutidas de manera extensa en los antiguos textos védicos Shulba-sutras, cuyos fragmentos más antiguos pueden datar desde 800 AEC. El método de Aryabhata para resolver tales problemas es llamado el método kuṭṭaka (कुट्टक). Kuttaka significa "pulverizar" o "romper en pequeñas piezas", y el método involucra un algoritmo recursivo para escribir los factores originales en números más pequeños. Actualmente este algoritmo, elaborado por Bhaskara en 621 EC, es el método estándar para resolver ecuaciones diofánticas de primer orden y es a veces referido como el algoritmo de Aryabhata.[19] Las ecuaciones diofánticas son de interés en criptología, y la Conferencia RSA 2006, se concentró en el método kuttaka y el trabajo previo en los Shulba-sutras.

Álgebra[editar]

En Aryabhatiya Aryabhata proveyó resultados elegantes para la suma de series matemáticas de cuadrados y cubos:[20]

1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = {n(n + 1)(2n + 1) \over 6}

y

1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = (1 + 2 + \cdots + n)^2

Astronomía[editar]

El sistema de Aryabhata de astronomía fue llamado el sistema audAyaka, en el cual los días son contados a partir de uday, comenzando en lanka o "ecuador". Algunos de sus posteriores escritos en astronomía, los cuales aparentemente proponían un segundo modelo (o ardha-rAtrikA, medianoche) están perdidos pero pueden ser parcialmente reconstruidos a partir de la discusión en el khanDakhAdyaka de Brahmagupta. En algunos textos, parece atribuir los movimientos aparentes del cielo a la rotación de la Tierra. Él puede haber creído que las órbitas del planeta son elípticas en vez de circulares.[21] [22]

Movimientos del Sistema Solar[editar]

Aryabhata correctamente insistió en que la Tierra rota sobre su eje diariamente, y que el movimiento aparente de las estrellas es un movimiento relativo causado por la rotación de la Tierra, de manera contraria al punto de vista prevaleciente entonces en otras partes del mundo, que era el cielo el que rotaba. Esto se indica en el primer capítulo del Aryabhatiya, donde da el número de rotaciones de la Tierra en un yuga,[23] y lo hizo más explícito en su capítulo gola:[24]

In the same way that someone in a boat going forward sees an unmoving [object] going backward, so [someone] on the equator sees the unmoving stars going uniformly westward. The cause of rising and setting [is that] the sphere of the stars together with the planets [apparently?] turns due west at the equator, constantly pushed by the cosmic wind. De la misma manera en que alguien en un bote yendo hacia adelante ve un [objeto] inmóvil ir hacia atrás, así [alguien] en el ecuador ve las estrellas inmóviles yendo uniformemente hacia el oeste. La causa de la salida y la puesta [es que] la esfera de las estrellas junto con los planetas [¿aparentemente?] gira hacia el oeste en el ecuador, empujado constantemente por el viento cósmico.

Aryabhata describió un modelo geocéntrico del Sistema Solar, en el cual el Sol y la Luna son cada uno transportados por epiciclos. Ellos a su vez giran alrededor de la Tierra. En este modelo, el cual se encuentra también en el Paitāmahasiddhānta (c. 425 EC), los movimientos de los planetas son cada uno gobernados por dos epiciclos, uno más pequeño manda (lento) y uno más grande śīghra (rápido). [25] El orden de los planetas en términos de distancia desde la Tierra es tomado como: la Luna, Mercurio, Venus, el Sol, Marte, Júpiter, Saturno, y el asterismo."[8]

Las posiciones y los periodos de los planetas fueron calculados de manera relativa a puntos moviéndose uniformemente. En el caso de Mercurio y Venus, se mueven alrededor de la Tierra a la misma velocidad media que el Sol. En el caso de Marte, Júpiter y Saturno, ellos se movían alrededor de la Tierra a velocidades específicas, representando el movimiento de cada planeta a través del zodiaco. La mayoría de los historiadores de astronomía consideran que este modelo de dos epiciclos refleja elementos de la astronomía en la Antigua Grecia pre-Ptolomeica.[26] Otro elemento en el modelo de Aryabhata, el śīghrocca, el periodo planetario básico en relación al Sol, es visto por algunos historiadores como una señal de un subyacente modelo heliocéntrico.[27]

Eclipses[editar]

Los eclipses solares y lunares fueron explicados científicamente por Aryabhata. Aryabhata afirmó que la Luna y los planetas brillan mediante la luz solar reflejada. En vez de la cosmogonía prevaleciente en la cual los eclipses eran causados por los nodos pseudo-planetarios Rajú y Ketu, él explica los eclipses en términos de sombras proyectadas sobre la Tierra. Así, el eclipse lunar ocurre cuando la Luna entra en la sombra de la Tierra (verso gola.37). Él analiza en detalle el tamaño y el alcance de la sombra de la Tierra (versos gola.38–48) y entonces provee los cálculos y el tamaño de la parte eclipsada durante un eclipse. Posteriormente astrónomos hindúes mejoraron los cálculos, pero los métodos de Aryabhata proporcionaron lo esencial. Su pardigma computacional fue tan preciso que el científico del siglo XVIII Guillaume Le Gentil, durante una visita a Pondicherry, India, encontró que los cálculos hindúes de la duración del eclipse lunar del 30 de agosto de 1765 eran cortos por 41 segundos, mientras que sus gráficas (por Tobias Mayer, 1752) eran largos por 68 segundos.[8]

Periodos siderales[editar]

En unidades modernas de tiempo, Aryabhata calculó la rotación sideral (la rotación de la Tierra con referencia las estrellas fijas) como 23 horas, 56 minutos, y 4.1 segundos;[28] el valor moderno es 23:56:4.091. De manera similar, su valor para la longitud del año sidéreo en 365 días, 6 horas, 12 minutos, y 30 segundos (365.25858 días)[29] tiene un error de 3 minutos y 20 segundos sobre la longitud de un año (365.25636 días).[30]

Heliocentrismo[editar]

Como ha sido mencionado, Aryabhata defendió un modelo astronómico en el cual la Tierra gira sobre su propio eje. Su modelo también dio correcciones (la anomalía śīgra) para las velocidades de los planetas en el cielo en términos de la velocidad media del Sol. Así, ha sido sugerido que los cálculos de Aryabhata estaban basados en un subyacente modelo heliocéntrico, en el cual los planetas orbitan alrededor del Sol,[31] [32] [33] aunque esto ha sido rebatido.[34] También se ha sugerido que aspectos del sistema de Aryabhata pueden haber sido derivados de un modelo heliocéntrico anterior, probablemente griego pre-Ptolemeico, el cual era desconocido para los astrónomos hindúes,[35] aunque la evidencia es escasa.[36] El consenso general es que una anomalía sinódica (dependiente de la posición del Sol) no implica una órbita heliocéntrica físicamente (estando tales correcciones presentes también en posteriores textos astronómicos babilónicos), y que el sistema de Aryabhata no era explícitamente heliocéntrico.[37]

Legado[editar]

El satélite Aryabhata, primer satélite artificial de la India, nombrado en honor de Aryabhata.

La obra de Aryabhata fue de gran influencia en la tradición astronómica de la India e influenció a varias culturas vecinas mediante traducciones. La traducción árabe durante la Edad de Oro del islam (c. 820 EC), fue influenciada de manera particular. Algunos de sus resultados son citados por Al-Juarismi y en el siglo X Al-Biruni afirmó que los seguidores de Aryabhata creían que la Tierra rotaba sobre su propio eje.

Sus definiciones de seno (jya), coseno (kojya), verseno (utkrama-jya), y seno inverso (otkram jya) influyeron en el nacimiento de la trigonometría. Él fue también el primero en especificar tablas de seno y verseno (1 − cos x), en intervalos de 3.75° desde 0° a 90°, con una precisión de 4 cifras decimales.

De hecho, los nombres modernos "seno" y "coseno" son transcripciones erradas de las palabras jya y kojya introducidas por Aryabhata. Como ha sido mencionado, fueron traducidas como jiba y kojiba en árabe y malentendidas por Gerardo de Cremona mientras traducía un texto árabe de geometría al latín. Él asumió que jiba era la palabra árabe jaib, que significa "doblez en una prenda", L. sinus (c. 1150).[38]

Los métodos de cálculo astronómico de Aryabhata eran también muy influyentes. Junto con las tablas trigonométricas, llegaron a ser ampliamente utilizados en el mundo islámico y fueron utilizados para computar muchas tablas astronómicas árabes (zij). En particular, las tablas astronómicas en el trabajo del científico de la España árabe Azarquiel (siglo XI) se habían traducido al latín como las Tablas de Toledo (s. XII) y permanecieron como las efemérides más precisas utilizadas en Europa por siglos.

Los cálculos de calendarios ideados por Aryabhata y sus seguidores han sido de uso continuo en India para los propósitos prácticos de ajustar el Panchangam (el calendario hindú). En el mundo islámico, formaron la base del calendario Jalali introducido en 1073 EC por un grupo de astrónomos incluyendo a Omar Jayam,[39] versiones las cuales (modificadas en 1925) son los calendarios nacionales en uso actualmente en Irán y Afganistán. Las fechas del calendario Jalali están basadas en el tránsito solar actual, como en los calendarios de Aryabhata y anteriores calendarios Siddhanta. Este tipo de calendario requiere una efeméride para calcular las fechas. Aunque las fechas eran difíciles de calcular, los errores estacionales eran menores en el calendario Jalali que en el calendario gregoriano.

El primer satélite artificial de la India, el satélite Aryabhata, y el cráter lunar Aryabhata son nombrados así en su honor. Un instituto para la realización de investigaciones en astronomía, astrofísica y ciencias atmosféricas es el Aryabhatta Research Institute of Observational Sciences (ARIOS) cerca de Nainital, India. La competición inter-escolar Aryabhata Maths Competition es también nombrada en su honor,[40] así como el Bacillus aryabhata, una especie de bacteria descubierta por científicos de la Agencia India de Investigación Espacial en 2009.[41]

Véase también[editar]

Notas y referencias[editar]

  1. «Aryabhata the Elder». andrews.ac.uk. Consultado el 18 de julio de 2012.
  2. Britannica Educational Publishing (15 de agosto de 2010). The Britannica Guide to Numbers and Measurement. The Rosen Publishing Group. pp. 97–. ISBN 978-1-61530-218-5. Consultado el 18 de julio de 2012. 
  3. K. N. Menon (1977). Aryabhata: astronomer mathematician (en inglés). Publications Division, Ministry of Information and Broadcasting, Gobierno de India. p. 5. «Aryabhata, the astronomer mathematician, was born in 476 and his 1500th birth centenary year was celebrated in India in 1976.» 
  4. Bharati Ray (1 de septiembre de 2009). Different Types of History. Pearson Education India. pp. 95–. ISBN 978-81-317-1818-6. Consultado el 24 de junio de 2012. 
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  7. Bhau Daji (1865). «Brief Notes on the Age and Authenticity of the Works of Aryabhata, Varahamihira, Brahmagupta, Bhattotpala, and Bhaskaracharya». Journal of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland. p. 392. 
  8. a b c d e f Ansari, S.M.R. (marzo 1977). «Aryabhata I, His Life and His Contributions». Bulletin of the Astronomical Society of India 5 (1):  pp. 10–18. Bibcode1977BASI....5...10A. http://prints.iiap.res.in/handle/2248/502. 
  9. Cooke (1997). «The Mathematics of the Hindus». (en inglés). p. 204. «Aryabhata himself (one of at least two mathematicians bearing that name) lived in the late fifth and the early sixth centuries at Kusumapura (Pataliutra, a village near the city of Patna) and wrote a book called Aryabhatiya 
  10. «Get ready for solar eclipse». National Council of Science Museums, Ministry of Culture, Government of India. Consultado el 9 de diciembre de 2009.
  11. Menon. An Introduction to the History and Philosophy of Science. Pearson Education India. pp. 52–. ISBN 978-81-317-2890-1. Consultado el 24 de junio de 2012. 
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    * L. Satpathy (2003). Ancient Indian Astronomy (en inglés). Alpha Science Int'l Ltd. p. 200. ISBN 978-81-7319-432-0. : "Seven cardinal points are then defined on the equator, one of them called Laṅkā, at the intersection of the equator with the meridional line through Ujjaini. This Laṅkā is, of course, a fanciful name and has nothing to do with the island of Sri Laṅkā."
    * Ernst Wilhelm. Classical Muhurta (en inglés). Kala Occult Publishers. p. 44. ISBN 978-0-9709636-2-8. : "The point on the equator that is below the city of Ujjain is known, according to the Siddhantas, as Lanka. (This is not the Lanka that is now known as Sri Lanka; Aryabhata is very clear in stating that Lanka is 23 degrees south of Ujjain.)"
    * R.M. Pujari; Pradeep Kolhe; N. R. Kumar (2006). Pride of India: A Glimpse into India's Scientific Heritage. SAMSKRITA BHARATI. p. 63. ISBN 978-81-87276-27-2. 
    * Ebenezer Burgess; Phanindralal Gangooly (1989). The Surya Siddhanta: A Textbook of Hindu Astronomy. Motilal Banarsidass Publ. p. 46. ISBN 978-81-208-0612-2. 
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  14. Dutta, Bibhutibhushan; Singh, Avadhesh Narayan (1962). History of Hindu Mathematics. Asia Publishing House, Bombay. ISBN 81-86050-86-8. 
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  18. Howard Eves (1990). An Introduction to the History of Mathematics (6a edición). Saunders College Publishing House, Nueva York. p. 237. 
  19. Amartya K Dutta, "Diophantine equations: The Kuttaka", Resonance, octubre de 2002. Véase también el resumen previo: Mathematics in Ancient India.
  20. Boyer, Carl B. (1991). «The Mathematics of the Hindus». A History of Mathematics (en inglés) (segunda edición). John Wiley & Sons, Inc. p. 207. ISBN 0-471-54397-7. «He gave more elegant rules for the sum of the squares and cubes of an initial segment of the positive integers. The sixth part of the product of three quantities consisting of the number of terms, the number of terms plus one, and twice the number of terms plus one is the sum of the squares. The square of the sum of the series is the sum of the cubes.» 
  21. (en inglés) J. J. O'Connor and E. F. Robertson, Aryabhata the Elder, MacTutor History of Mathematics archive:

    "He believes that the Moon and planets shine by reflected sunlight, incredibly he believes that the orbits of the planets are ellipses."

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  24. [achalAni bhAni samapashchimagAni ... – golapAda.9–10]. Traducción de K. S. Shukla y K.V. Sarma, K. V. Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa, Nueva Delhi: Indian National Science Academy, 1976. Citado en Plofker 2009.
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  27. Hugh Thurston, Early Astronomy, Nueva York: Springer-Verlag, 1996, pp. 178–189. ISBN 0-387-94822-8
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  31. El concepto de heliocentrismo hindú ha sido defendido por B. L. van der Waerden, Das heliozentrische System in der griechischen, persischen und indischen Astronomie. Naturforschenden Gesellschaft in Zürich. Zürich:Kommissionsverlag Leeman AG, 1970.
  32. B.L. van der Waerden, "The Heliocentric System in Greek, Persian and Hindu Astronomy", en David A. King y George Saliba, ed., From Deferent to Equant: A Volume of Studies in the History of Science in the Ancient and Medieval Near East in Honor of E. S. Kennedy, Annals of the New York Academy of Science, 500 (1987), pp. 529–534.
  33. Hugh Thurston (1996). Early Astronomy. Springer. p. 188. ISBN 0-387-94822-8. 
  34. Noel Swerdlow, "Review: A Lost Monument of Indian Astronomy," Isis, 64 (1973): 239–243.
  35. Aunque a Aristarco de Samos (siglo III AEC) se le acredita con tener una teoría heliocéntrica, la versión de la astronomía griega conocida en la antigua India como el Paulisa Siddhanta no hace referencia a tal teoría.
  36. Dennis Duke, "The Equant in India: The Mathematical Basis of Ancient Indian Planetary Models." Archive for History of Exact Sciences 59 (2005): 563–576, n. 4 [1].
  37. Kim Plofker (2009). Mathematics in India. Princeton, NJ: Princeton University Press. p. 111. ISBN 0-691-12067-6. 
  38. Douglas Harper (2001). «Online Etymology Dictionary». Archivado desde el original el 13 de julio de 2007. Consultado el 14-07-2007.
  39. «Omar Khayyam», The Columbia Encyclopedia (6a edición), mayo de 2001, http://www.bartleby.com/65/om/OmarKhay.html, consultado el 10-06-2007 Omar Khayyam. The Columbia Encyclopedia, Sexta edición. 07-2001 (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial y la última versión).
  40. «Maths can be fun». The Hindu. 3 de febrero de 2006. Consultado el 06-07-2007. 
  41. «Comunicado de prensa ISRO del 16 de marzo de 2009». ISRO. Consultado el 24 de junio de 2012.

Referencias adicionales[editar]

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