Trigonometría esférica
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Trigonometría esférica es la parte de la geometría esférica que estudia los polígonos que se forman sobre la superficie de la esfera, en especial, los triángulos. La resolución de triángulos esféricos tiene especial relevancia en astronomía náutica y navegación para determinar la posición de un buque en altamar mediante la observación de los astros.
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[editar] Círculo máximo
La intersección de una esfera con un plano que contenga su centro genera un círculo máximo y una circunferencia máxima sobre la superficie de la esfera.
Un círculo máximo divide a la esfera en dos hemisferios iguales.
La distancia entre dos puntos de la superficie de la esfera, unidos por un arco de círculo máximo, es la menor entre ellos y se denomina distancia ortodrómica.
Como ejemplos de círculos máximos en la superficie de la Tierra tenemos los meridianos o la línea del ecuador.
[editar] Triángulo esférico
Si tres puntos de la superficie esférica son unidos por arcos de círculo máximo menores a 180º, la figura obtenida se denomina triángulo esférico. Los lados del polígono así formado se expresan por conveniencia como ángulos cuyo vértice es el centro de la esfera y no por su longitud. Este arco medido en radianes y multiplicado por el radio de la esfera es la longitud del arco. En un triángulo esférico los ángulos cumplen que: 180° < 
+ 
+ 
< 540°
[editar] Fórmulas fundamentales
:ángulo formado entre los arcos AC y AB
:ángulo formado entre los arcos AB y BC
:ángulo formado entre los arcos AC y BC
[editar] Fórmula del coseno
El coseno de un lado es igual al producto de los cosenos de los otros dos, más el producto de los senos de los mismos por el coseno del ángulo opuesto al lado buscado.
[editar] Fórmula del seno
Los senos de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
[editar] Fórmula de la cotangente
La fórmula de la cotangente también se denomina fórmula de los elementos consecutivos. Ver en la figura los siguientes elementos consecutivos:
ángulo ; lado AB; ángulo ; lado BC.
Cosenos de los elementos medios, es igual a: seno del lado medio por la cotangente del otro lado, menos seno del ángulo medio por la cotangente del otro ángulo.
[editar] Triángulo esférico rectángulo
Al triángulo esférico con al menos un ángulo recto, se lo denomina triángulo rectángulo. En un triángulo esférico sus tres ángulos pueden ser rectos, en cuyo caso su suma es 270°. En todos los otros casos esa suma excede los 180° y a ese exceso se lo denomina exceso esférico; se expresa por la fórmula: E: E = ++ − 180°.
Cualquier triángulo esférico puede descomponerse en dos triángulos esféricos rectángulos.
[editar] Pentágono de Neper
El pentágono de Neper es una regla nemotécnica para resolver triángulos esféricos rectángulos; toma este nombre en memoria del científico inglés John Napier, y se construye de la siguiente forma:
Se colocan en cada sector circular: cateto - ángulo - cateto - ángulo - cateto, consecutivamente, tal como aparecen ordenados en el triángulo, exceptuando el ángulo recto C.
Se remplazan los ángulos B, C, y la hipotenusa a por sus complementarios:
- B por (90° - B)
- C por (90° - C)
- a por (90° - a)
Se establecen dos reglas:
- el seno de un elemento es igual al producto de las tangentes de los elementos adyacentes:
- seno(a) = tg(b) tg(90° - B), o su equivalente: seno(a) = tg(b) ctg(B)
- el seno de un elemento es igual al producto de los cosenos de los elementos opuestos:
- seno(a) = coseno(90° - A) coseno(90° - c), o su equivalente: seno(a) = seno(A) seno(c)
[editar] Véase también
- Geodésica
- Geometría no euclídea
- Geometría hiperbólica
- Geometría riemanniana
- Triángulo esférico
- Topología
- Nikolái Lobachevski
[editar] Links
- Great Circle Mapper - uma ferramenta interactiva para traçar rotas ortodrómicas.
- Great Circle Calculator - calcular a rota ortodrómica e a distância mínima entre dois pontos.
- A matemática do Grande Círculo (descrição, figuras e equações).
- Um simulador de rotas ortodrómicas
- Instrumento para traçar rotas ortodrómicas
[editar] Bibliografía
Apuntes de trigonometría esférica. Escuela Nacional de Náutica Manuel Belgrano (Argentina).
Astronomía Náutica (tomo primero). Luis Virgile. Imprenta Escuela Naval Militar (Argentina).
