Raíz cuadrada de dos

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\sqrt{2} \, equivale a la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo e isósceles cuyos catetos tienen una longitud igual a la unidad.
Representación numérica de √2.

La raíz cuadrada de 2, o simplemente raíz de 2[cita requerida] se define como el único número real positivo tal que, multiplicado por sí mismo, es igual a 2. La notación tradicional, utilizando el símbolo de radicación es \sqrt{2} \,, utilizando la notación de potencias: 21/2. La raíz cuadrada de 2 es un número irracional (más aún, algebraico), su valor numérico es aproximadamente 1.4, y truncado en 65 dígitos decimales es:[1]

1,41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799...

La raíz cuadrada de 2 fue posiblemente el primer número irracional conocido. Geométricamente equivale a la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado es igual a la unidad, lo cual se deduce del teorema de Pitágoras, también conocida como constante pitagórica.[cita requerida]

Este número tiene numerosas aplicaciones en la vida corriente:

Historia[editar]

Representación de la raíz de 2 en sistema hexadecimal. El 30 de un lado corresponde a un ejemplo donde la diagonal corresponde a los números 42 25 35 que es la aproximación de 30\sqrt{2}.

Las tablas babilónicas del (YBC 7289) (c. 2000–1650 a. C.) proporcionan una aproximación de \sqrt{2} en cuatro dígitos sexagesimales, que es similar a seis cifras decimales:[2]

1 +  \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1,41421\overline{296}.

Otra aproximación antigua a este número irracional se da en la antigua India por los textos matemáticos, el Sulbasutras (c. 800—200 a. C.) diciendo: Incrementa la longitud [del lado] por su tercera parte, y su tercera por su tres cuartas y su tercera por su treinta y cuatroava parte de cuatro.[3] Esto es

1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot4 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1,414215686.

El descubrimiento de la raíz cuadrada de 2 como un número irracional se atribuye generalmente al pitagórico Hipaso de Metaponto, quien fue el primero en producir la demostración (vía demostración geométrica) de la irracionalidad. La historia narra que precisamente descubrió la irracionalidad de la raíz de 2 cuando intentaba averiguar una expresión racional del mismo. Sin embargo Pitágoras creía en la definición absoluta de los números como media, y esto le obligaba a no creer en la existencia de los números irracionales. Por esta razón estuvo ya desde el principio en contra de esa demostración, por esta razón fue sentenciado a la pena capital por sus compañeros pitagóricos.

El matemático griego Teeteto (417 a. C. - 369 a. C) proponía el problema de encontrar el lado de un cuadrado, cuya área sea el doble del área de un cuadrado de lado m. Cuya solución conlleva la aparición de la raíz cuadrada de dos. [4]

Algoritmo computacional[editar]

Existen muchos algoritmos empleados para la aproximación de cuadrada de 2. El más común de los algoritmos para averiguar una aproximación en computadores o calculadoras es el denominado método babilónico[5] de cálculo de las raíces cuadradas, siendo éste uno de los muchos empleados para el cálculo de raíces cuadradas. Funciona como sigue:

Se toma en primer lugar un valor arbitrario, que denominaremos, F_0; esta primera aproximación importa poco, es considerada sólo como un punto de comienzo del algoritmo y afecta en cuantas iteraciones debe hacer el algoritmo hasta alcanzar la aproximación con una precisión requerida. Entonces, empleando esta suposición inicial, se procede a iterar mediante la siguiente cómputo recursivo:

F_{n+1} = \frac{F_n + \frac{2}{F_n}}{2}

Cuanto más iteraciones se hagan mediante este algoritmo (es decir más cálculos con un valor de n grande), se obtendrá una mejor aproximación del valor real de raíz cuadrada de 2.

El valor de \sqrt{2} ha sido calculado hasta 137.438.953.444 posiciones decimales por el equipo de Yasumasa Kanada en el año 1997. Entre las constantes matemáticas con cifras no periódicas, sólo π ha sido calculado con mayor precisión.[6]

Pruebas de irracionalidad[editar]

Existen varias pruebas de la irracionalidad de \scriptstyle{\sqrt{2}} basadas en el método del descenso infinito y en el método de reducción al absurdo, que se fundamenta en suponer que \scriptstyle{\sqrt{2}} es un número racional y llegar, utilizando razonamientos rigurosamente correctos, a una contradicción, lo que hace concluir que la primera suposición tiene que ser falsa.

Prueba geométrica[editar]

Irrationality of sqrt2.png

Se fundamenta en el método del descenso infinito. Es una construcción geométrica clásica de regla y compás, probando el teorema por un modo muy similar a como lo hacían los antiguos geómetras griegos.

Sea ABC un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa de longitud de m y catetos de longitud n. Por el teorema de Pitágoras, n ² + n ² = m ² ; 2n ² =m ² ; \scriptstyle{\sqrt{2}} = m/n.

Supongamos que m y n son números enteros.

Trazamos los arcos BD y CE con centro en A. Unimos DE. Se sigue que AB = AD, AC = AE y el ∠BAC y el ∠DAE coinciden. Por lo tanto los triángulos ABC y ADE son congruentes por tener dos lados iguales y el ángulo comprendido también.

Como ∠EBF es un ángulo recto y ∠BEF es la mitad de un recto, BEF es también un triángulo rectángulo isósceles. Se cumple que BE = BF = m − n. Razonando análogamente, FDC es también un triángulo rectángulo isósceles, con catetos DF = DC = m − n, y con hipotenusa FC = n − (m − n) = 2n − m, que son números también enteros y menores a n y m respectivamente. Al ser ABC y FDC dos triángulos semejantes podemos repetir el anterior proceso de forma recurrente. Con las longitudes de las hipotenusas y con las de los catetos de los sucesivos triángulos, obtenemos dos sucesiones de números enteros estrictamente decrecientes que no son finitas, lo cual es imposible porque si n y m son enteros debe existir una fracción irreducible. Esta contradicción nos hace concluir que la suposición de que m y n son números enteros es falsa y que \scriptstyle{\sqrt{2}} no puede ser una fracción \textstyle{\frac{m}{n}} con m y n enteros, por tanto \scriptstyle{\sqrt{2}} tiene que ser un número irracional.

Prueba basada en argumentos de paridad[editar]

  1. Se asume que: \scriptstyle{\sqrt{2}} es un número racional, con ello se sabe que existen dos números enteros a y b tal que se satisfaga que la fracción a / b = \scriptstyle{\sqrt{2}}.
  2. Entonces \scriptstyle{\sqrt{2}} puede ser escrito como una fracción irreducible (la fracción es reducida tanto como sea posible) a / b tal que a y b son números primos entre sí y (a / b)² = 2.
  3. Se sigue que a² / b² = 2 y a² = 2 b².
  4. Por lo tanto a² es par debido a que es igual a 2 b² lo cual es obvio.
  5. Se sigue que a debe ser número par. (Los números impares tienen raíces impares y los pares tienen raíces pares.)
  6. Debido a que a es par, entonces existe un número entero k tal que satisface: a = 2k.
  7. Insertamos la última ecuación de (3) en (6): 2b² = (2k)² es equivalente a 2b² = 4k² es equivalente a b² = 2k².
  8. Debido a que 2k² es par se deduce que b² es también par lo que significa que b es par porque sólo los números pares tienen raíces cuadradas pares.
  9. Como (4) y (8) a y b son ambos pares, lo que contradice que a / b es irreducible tal y como se afirmó en (2).

como se ha encontrado una contradicción al asumir en (1) que \scriptstyle{\sqrt{2}} es un número racional, se deduce que esta afirmación es falsa. Se demuestra entonces lo contrario: \scriptstyle{\sqrt{2}} es irracional.

Existencia y unicidad dela raíz cuadrada en ℝ[editar]

Se obtiene como resultado del Principio de Cantor de los intervalos encajados, de modo que el extremo izquierdo sea un número mayor que 1 y su cuadrado menor que 2, el extremo derecho es menor que 2, tal que su cuadrado es mayor que 2. Esta sucesión garantiza la existencia y unicidad del único real que se denota  \sqrt{2}

Infinitud de la expresión decimal[editar]

Si se obtiene \sqrt{2} mediante una sucesión infinita de intervalos encajados, los extremos inferiores forman una sucesión creciente estricta, tal que el siguiente tiene más cifras, como esto puede continuar indefinidamente , el número de cifras decimales, aumenta sin cesar, o es una infinidad [7] .

Propiedades de la raíz cuadrada de dos[editar]

La mitad de \sqrt{2}, es aproximadamente 0,70710 67811 86548, y es muy usado en geometría y trigonometría, debido, en parte, a que el vector unitario que hace un ángulo de 45° con los ejes de un plano tiene como coordenadas:

\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right).

Este número satisface:

\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ).

Una propiedad interesante de la raíz cuadrada de dos es la que sigue:

 \!\ {1 \over {\sqrt{2} - 1}} = \sqrt{2} + 1.

Este resultado es una propiedad de la razón plateada.

La raíz cuadrada es conocida también como una fracción continua

 \!\ 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \cdots}}}.

Series y representaciones en productos[editar]

La identidad \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}, mediante un producto infinito de senos y cosenos, queda como sigue

\frac{1}{\sqrt 2} = \prod_{k=0}^\infty
\left(1-\frac{1}{(4k+2)^2}\right) = 
\left(1-\frac{1}{4}\right)
\left(1-\frac{1}{36}\right)
\left(1-\frac{1}{100}\right) \cdots

y

\sqrt{2} =
\prod_{k=0}^\infty
\frac{(4k+2)^2}{(4k+1)(4k+3)} =
\left(\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3}\right)
\left(\frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7}\right)
\left(\frac{10 \cdot 10}{9 \cdot 11}\right)
\left(\frac{14 \cdot 14}{13 \cdot 15}\right) \cdots

o equivalentemente

\sqrt{2} =
\prod_{k=0}^\infty
\left(1+\frac{1}{4k+1}\right)
\left(1-\frac{1}{4k+3}\right)
=
\left(1+\frac{1}{1}\right)
\left(1-\frac{1}{3}\right)
\left(1+\frac{1}{5}\right)
\left(1-\frac{1}{7}\right) \cdots.

El número puede ser expresado mediante una expansión en serie de Taylor de una función trigonométrica. Por ejemplo, las series para \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) da

\frac{1}{\sqrt{2}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2k}}{(2k)!}

La serie de Taylor de: \sqrt{(1+x)} x = 1 proporciona:

\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} \frac{(2k-3)!!}{(2k)!!} = 
1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2\cdot4} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} -
\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8} + \cdots.

La convergencia de esta serie puede ser acelerada por una transformada de Euler, produciendo

\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k+1)!}{(k!)^2 2^{3k+1}} = \frac{1}{2} +\frac{3}{8} +
\frac{15}{64} + \frac{35}{256} + \frac{315}{4096} + \frac{693}{16384} + \cdots.

No se sabe si \sqrt{2} puede ser representado con una fórmula de tipo BBP. Sin embargo, si se conocen las fórmulas de tipo-BBP para π\sqrt{2} y para \sqrt{2} \ln(1+\sqrt{2}). [1]

Distintas expresiones[editar]

Binario: 1.0110101000001001111...
Decimal: 1.4142135623730950488...
Hexadecimal: 1.6A09E667F3BCC908B2F...
Fracción continua: 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{\ddots}}}}

En la geometría euclídea[editar]

  • En el estudio del cuadrado
  • En el octógono regular
  • En el triángulo rectángulo isósceles

En álgebra abstracta[editar]

El conjunto H = {a + b \sqrt{2} \,; a, b∈ℚ} provisto de la adición y la múltiplicación es un cuerpo, previamente <H, + > es un grupo conmutativo, con la adición. [8] . Al número irracional a + b\sqrt{2} \, se llama irracionalidad cuadrática [9] , porque
junto con su conjugado a - b\sqrt{2} \, son raíces de una ecuación algebraica de segundo grado.

Noticias y amenidades[editar]

  • Con el algoritmo an+1 = (an +2/an)/2 en 2006, Shigeru Kondo con su ordenador que trabajó algo más de 13 días, obtuvo un resultado de la raíz cuadrada de dos con doscientos mil millones de decimales, que para imprimir se necesitarían 100 millones de hojas de papel [10] .
  • Tómese una varilla, que se dirá que tiene una unidad de longitud, colóquese en un día de Sol la varilla verticalmente y marque la punta de la sombra, en el momento que tenga la misma medida que la varilla. Se une la punta de la sombra con la parte alta de la varilla mediante una cuerda, esta tiene una longitud igual a la raíz cuadrada de dos [11] .

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. (sucesión A002193 en OEIS)
  2. Fowler and Robson, p. 368.
    Fotografía, ilustración, y descripción de la root(2) tablilla procedente de la "Yale Babylonian Collection"
    Fotografías de alta resolución y análisis descriptivo de las tablas de la root(2) (YBC 7289) procedente de la "Y"ale Babylonian Collection"
  3. Henderson.
  4. Hofmann: "Historia de la matemática" (2003)
  5. Aunque se denomine "Método babilónico" generalmente, no existe evidencia que muestre un uso de esta aproximación por los babilónicos en el cálculo de la aproximación de \sqrt{2} tal y como se puede ver en la tablilla YBC 7289. Fowler and Robson ofrece generalmente detalle y conjeturas sobre esto.
    Fowler and Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.
  6. Number of known digits
  7. Trejo: El concepto de número
  8. Dubreil - Jacotin: "Lecciones de álgebra moderna"
  9. Beskin. "Fracciones maravillosas"
  10. Alsina:«La secta de los números» ISBN 978-473-6627-9
  11. Romero Méndez:« Matemática recreativa» edición del diario La Prensa de Lima

Bibliografía[editar]

Enlaces externos[editar]