Radicación

En el gráfico se han representado las curvas de algunas raíces, así como de sus funciones inversas, en el intervalo [0,1]. La diagonal, de ecuación y = x, es eje de simetría entre cada curva y la curva de su inversa.

En matemática, la radicación de orden n de un número a es cualquier número b tal que $\scriptstyle b^n = a$, donde n se llama índice u orden, a se denomina radicando, y b es una raíz enésima, por lo que se suele conocer también con ese nombre. La notación a seguir tiene varias formas:

$y = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}$.

Para todo n natural, a y b reales positivos, se tiene la equivalencia:

$a = b^n \iff b = \sqrt[n]{a}$.

Dentro de los números reales $\scriptstyle \R^+$ positivos, siempre puede encontrarse una única raíz enésima también positiva. Si el número a es negativo entonces sólo existirá una raíz real cuando el índice n sea impar. La raíz enésima de un número negativo no es un número real (no está definida dentro de los números reales) cuando el índice n es par.

Dentro de los números complejos $\scriptstyle \mathbb{C}$ para cada número z siempre es posible encontrar exactamente n raíces enésimas diferentes.

La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y, por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice: $\sqrt{x}$ en vez de $\sqrt[2]{x}$.La raíz de orden tres se llama raíz cúbica.

El cálculo efectivo de la raíz se hace mediante las funciones logaritmo y exponencial:

$\sqrt[n]{x} = \exp\left(\frac{\ln {x}}{n}\right) = {e^{\frac {\ln x} n}}$.

Todos los ordenadores y calculadoras emplean este método. El problema es que éste cálculo no funciona con los números negativos, porque el logaritmo usual sólo está definido en (0,+ ∞). De ahí una tendencia, todavía minoritaria, de restringir la definición de las raíces de orden impar $\sqrt[3]{x}, \sqrt[5]{x} ...$ a los números positivos.

Propiedades

Como se indica con la igualdad $y = \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$, la radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de un cierto orden de un número es equivalente a elevar a dicho número a la potencia inversa. Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación.

Ejemplo

$\sqrt[4]{x^3}$ = $\ x^{3/4}$.

Raíz de un producto

La raíz de un producto de factores es igual al producto de las raíces de los factores. $\sqrt[n]{{a} \cdot {b}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$; con n distinto de cero (0).

Ejemplo

$\sqrt{3^2 \cdot 2^4}$ = $\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{2^4}$ = $\sqrt{9} \cdot \sqrt{16} = 3\cdot 4 = 12$

Se llega a igual resultado de la siguiente manera:

$\sqrt{3^2 \cdot 2^4} = \sqrt{9 \cdot 16} = \sqrt{144} = 12$

El 3 elevado a la dos dentro de la raíz cuadrada puede simplificarse quedando 3.

Raíz de un cociente

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador. $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{a^{1/n}}{b^{1/n}}$ = $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$; con n distinto de cero (0).

Ejemplo

$\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$ = $\frac{3}{2}$

Cuando esta propiedad se hace con números no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.

$\sqrt[3]{\frac{x^3}{y^9}} = \frac{x^{3/3}}{y^{9/3}}$ = $\frac{x}{y^3}$

Ejemplo

• $(\sqrt[4]{a^2})^8 = (\ a^{2/4})^8$ = $\sqrt[4]{a^{16}}$

El tres elevado a las dos dentro de la raíz cuadrada puede simplificarse quedando 3.

Raíz de una raíz

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando. $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}$ = $\sqrt[n \cdot m]{a}$; con n y m distintos de cero (0).

Ejemplo

$\sqrt[9]{\sqrt[3]{5}}$ = $\sqrt[27]{5}$

Números complejos

Si z es un número complejo, entonces admite una representación mediante módulo y argumento (forma polar) de la forma:

$z = a+bi = \rho e_{}^{i\theta}$, donde $\; \rho = \sqrt{a^2+b^2}, \quad \theta = \arg(a+bi).$

De esta manera, en forma polar, las raíces n-ésimas de z, necesarias para la ecuación $x_{}^n=z$, pueden ser calculadas por medio de la fórmula

$\sqrt[n]z=\sqrt[n]{\rho e^{i\theta}} \,=\, \sqrt[n]{\rho}\,e^{i {\theta + 2 \pi k\over n} },\ k \in \{0,1,\cdots,n-1\}.$

Por tanto, un número complejo tiene n raíces enésimas distintas. En el plano complejo están dispuestas en los vértices de un polígono regular de n lados con centro en el origen del plano complejo. La distancia del centro de dicho polígono a sus vértices es $\sqrt[n]{\rho}$.

Ejemplo

$\sqrt[3]1=\sqrt[3]{1\, e^{i0}} = \left \{ \begin{array}{ccc} \sqrt[3]{1}\,e^{i {0 + 2 \pi\cdot 0\over 3}} & = & 1+ 0i \\ \sqrt[3]{1}\,e^{i {0 + 2 \pi \cdot 1\over 3}} & = & -{1 \over 2}+ {\sqrt{3} \over 2}i\\ \sqrt[3]{1}\,e^{i {0 + 2 \pi \cdot 2\over 3}} & = & -{1 \over 2}- {\sqrt{3} \over 2}i \end{array} \right .$

Véase también

• Raíz cuadrada
• Raíz cúbica
• Raíz de la unidad
• Función exponencial
• Radical jerarquizado
• Racionalización de radicales

Referencias

Bibliografía

• Suárez Bracho, Estrella y Durán Cepeda, Darío (2003) Matemáticas Noveno año. Caracas: Editorial Santillana.