Función elemental
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- Este artículo trata sobre el concepto de funciones elementales en álgebra diferencial. Sobre funciones simples véase la lista de funciones matemáticas.
En matemáticas, una función elemental es una función construida a partir de una cantidad finita de exponenciales, logaritmos, constantes, una variable, y raices de ecuaciones mediante composición y combinaciones utilizando las cuatro operaciones elementales (+ – × ÷). Las funciones trigonométricas y sus inversas son consideradas dentro del grupo de funciones elementales ya que se pueden obtener mediante el uso de variables complejas y sus relaciones entre las funciones trigonométricas y las funciones exponencial y logaritmo.
Las funciones elementales son un subconjunto de las funciones especiales.
Las raices de las ecuaciones son las funciones definidas en forma implícita que resuelven la ecuación polinómica con coeficientes constantes. Para polinomios de grado cuarto o menor existen fórmulas explícitas para hallar las raíces (las fórmulas son funciones elementales), pero aún para polinomios de mayor grado el teorema fundamental del álgebra y el teorema de la función implícita aseguran la existencia de una función que provee cada una de las raices de la ecuación polinómica.
Algunos ejemplos de funciones elementales:
y
El dominio de esta última función no incluye ningún número real. Un ejemplo de una función que no es elemental es la función error
hecho que no puede ser reconocido a simple vista a partir de la definición de la función elemental pero que se puede demostrar mediante el algoritmo de Risch.
El concepto de funciones elementales fue desarrollado por Joseph Liouville en una serie de trabajos entre 1833 y 1841. Durante la década de 1930 Joseph Fels Ritt fue pionero en el tratamiento algebraico de las funciones elementales.
[editar] Referencias
- Maxwell Rosenlicht (1972). "Integration in finite terms". American Mathematical Monthly 79: 963–972.
- Joseph Ritt, Differential Algebra, AMS, 1950.
