Racionalización de radicales

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La racionalización de radicales es un proceso en donde se tiene que eliminar la raíz o raíces que están en el denominador de una fracción.

Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por una expresión adecuada, de forma que al operar, se elimine la raíz del denominador.

Racionalización de un radical[editar]

Para racionalizar un monomio de este tipo, se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por la raíz del denominador cuyo radicando se eleva a la diferencia entre el índice y el exponente. En el siguiente caso:

\frac{{8}}{\sqrt{5}}

hay que multiplicar numerador y denominador por \sqrt{5}

\frac{{8}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}= \frac{{8\sqrt{5}}}{\sqrt{5^2}}

Después se despeja la raíz cuadrada del denominador ya que la cantidad subradical que es 5 elevada al cuadrado puede eliminar o despejar la raíz cuadrada:

\frac{{8\sqrt{5}}}{\sqrt{5^2}} = \frac{8\sqrt{5}}{5} = \frac{8}{5}\sqrt{5}

También se debe tener en cuenta todas las propiedades para poder resolver los problemas de forma más fácil.

Se debe tener cuidado al realizar las operaciones entre los radicales, pues si se tiene

\frac{{8}}{\sqrt{x}}

Al racionalizar que se debería dividir por

\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}

es lo mismo

\frac{{8}\sqrt{x}}{\sqrt{x^2}} que es correcto

que

\frac{{8}\sqrt{x}}{\sqrt{x}^2} que no es correcto

Porque estaríamos ganando soluciones, es decir notemos que {\sqrt{x^2}} (que seria el valor absoluto de un número) no es lo mismo que {\sqrt{x}^2} ( que es el cuadrado de una raíz) entonces cuando {x} sea un número negativo, la racionalización definiría una nueva solución, que no es correcto

Racionalización de binomio de índice 2[editar]

Para racionalizar un binomio de índice 2, se debe hacer un proceso similar al ejercicio anterior, multiplicar el numerador y denominador de la fracción por el conjugado del denominador de la misma. En el siguiente ejemplo:

\frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}

hay que multiplicar el numerador y el denominador por {\sqrt{2}-\sqrt{3}}; este resultado es el que da el producto notable de los binomios conjugados.

\frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} · \frac{{{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{\sqrt{2^2}-\sqrt{3^2}}
\frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{\sqrt{2^2}-\sqrt{3^2}} = \frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{{2}-{3}}
\frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{{-1}} = {-2(\sqrt{2}-\sqrt{3}})

El caso general de un binomio con dos raíces cuadradas también es fácilmente resoluble:

\frac{1}{a\sqrt{p}+b\sqrt{q}}= \frac{1}{a\sqrt{p}+b\sqrt{q}}\cdot
\frac{b\sqrt{q}-a\sqrt{p}}{b\sqrt{q}-a\sqrt{p}} = \frac{b\sqrt{q}-a\sqrt{p}}{b^2 q-a^2 p}

Más complicada es la racionalización de un trinomio:

\frac{1}{a\sqrt{p}+b\sqrt{q}+c} = 
\frac{(b\sqrt{q}+c-a\sqrt{p})(-b^2q-c^2+a^2p+2bc\sqrt{q})}{b^4q^2 - 2b^2c^2q - 2b^2qa^2p + c^4 - 2c^2a^2p + a^4p^2}

Racionalización de monomios con índices mayores que 2[editar]

Tómese el siguiente caso, ya que tenemos numeradores y denominadores fraccionados y multiplicados por índices mayores que 3.

\frac{{2}}{\sqrt[5]{8a^3b^4}}

Primero, todas las cantidades subradicales (si son números enteros elevados que no tienen exponente) se les debe obtener la raíz enésima.

\frac{{2}}{\sqrt[5]{8a^3b^4}} = \frac{{2}}{\sqrt[5]{2^3a^3b^4}}

Ahora, la cantidad que deberá ser multiplicada al numerador y denominador de la fracción sigue un procedimiento diferente a las anteriores.

Las cantidades exponenciales de los subradicales del radical para multiplicar al numerador y denominador de la fracción será el número del exponente que falta para acercarse al índice del radical. En caso de que el exponente sea mayor que el índice de la raíz, la cantidad de aquel exponente será la que falte para llegar al múltiplo más cercano de la raíz.

Para :\sqrt[5]{2^3a^3b^4}, es \sqrt[5] {2^2a^2b}  , ya que éste es el radical que al ser multiplicado por el denominador los exponentes de las cantidades subradicales serán iguales al índice de la raíz...

Ahora, se procede a multiplicar el numerador y el denominador:

\frac{{2}}{\sqrt[5]{2^3a^3b^4}} · \frac{\sqrt[5]{2^2a^2b} }{\sqrt[5]{2^2a^2b}} = \frac{{2\sqrt[5]{2^2a^2b}}}{\sqrt[5]{2^5a^5b^5}}

Despejando las raíces, que son de índice 5:

\frac{{2\sqrt[5]{2^2a^2b}}}{\sqrt[5]{2^5a^5b^5}} = \frac{{2\sqrt[5]{4a^2b}}}{{2ab}}

Simplificando, se obtiene:

\frac{{2\sqrt[5]{4a^2b}}}{{2ab}} = \frac{{\sqrt[5]{4a^2b}}}{{ab}}

Racionalización de binomios con radical mayor a 2[editar]

Cuando se tiene la diferencia de dos radicales de índice 3, es preciso utilizar productos notables.

\frac{{1}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}

Tomamos este producto notable.

a - b = (\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} ) [\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}]

Se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por el segundo factor.

\frac{{1}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} · \frac{\sqrt[3]{a^2}  + \sqrt[3]{ab}+ \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2}  + \sqrt[3]{ab}+ \sqrt[3]{b^2}}

En el denominador ha quedado el producto notable. Lo cambiamos por su expresión simple y ya está.

\frac{{\sqrt[3]{a^2}  + \sqrt[3]{ab}+ \sqrt[3]{b^2}}}{{{a}-{b}}}

Si se trata de la suma de dos radicales de índice 3:

\frac{{1}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}

Hay que usar este otro producto notable.

a + b = (\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b} ) [\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}]

Se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por el segundo factor.

\frac{{1}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} · \frac{\sqrt[3]{a^2}  - \sqrt[3]{ab}+ \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2}  - \sqrt[3]{ab}+ \sqrt[3]{b^2}}

En el denominador ha quedado el producto notable. Lo cambiamos por su expresión simple y ya está.

\frac{{\sqrt[3]{a^2}  - \sqrt[3]{ab}+ \sqrt[3]{b^2}}}{{{a}+{b}}}

Para un binomio general de índice n se tiene:

\frac{{1}}{a\sqrt[n]{p}-b\sqrt[n]{q}} =
\frac{\sum_{k=0}^{n-1} a^kb^{n-1-k}\sqrt[n]{p^kq^{n-1-k}}}{a^np-b^nq}

Racionalización de polinomios de un radical[editar]

Para racionalizar una expresión del tipo:

\frac{1}{ar^{p/q}+br^{1/q}+c}

Debe recurrirse al álgebra de polinomios. Definiendo x=r^{1/q} se trata de buscar un polinomio Q tal que:

\frac{1}{ax^p+bx+c}\cdot \frac{Q(x)}{Q(x)} = \frac{Q(x)}{D(x^q)}

Es decir un polinomio tal que exista un polinomio D tal que el producto de P por Q sólo contenga potencias que sean múltiplo de q:

P(x)Q(x) = \tilde{D}(x) = D(x^q)

Véase también[editar]

Bibliografía[editar]

  • Suárez Bracho, Estrella y Durán Cepeda, Darío (2003) Matemáticas Noveno año. Caracas: Editorial Santillana.