Racionalización de radicales

La racionalización de radicales es un proceso en donde se tiene que eliminar el radical o los radicales que están en el denominador de una fracción.

Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por una expresión adecuada, de forma que al operar, se elimine la raíz del denominador.

Racionalización de un radical índice 2

Para racionalizar un monomio de este tipo, se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el denominadores identicos al mismo y de la misma. En el siguiente caso:

$\frac{{8}}{\sqrt{5}}$

hay que multiplicar numerador y denominador por $\sqrt{5}$

$\frac{{8}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}= \frac{{8\sqrt{5}}}{\sqrt{5^2}}$

Después se despeja la raíz cuadrada del denominador ya que la cantidad subradical que es 5 elevada al cuadrado puede eliminar o despejar la raíz cuadrada:

$\frac{{8\sqrt{5}}}{\sqrt{5^2}} = \frac{8\sqrt{5}}{5} = \frac{8}{5}\sqrt{5}$

Tambien se debe tomar en cuenta todas las propiedades para poder resolver los problemas de forma mas fácil.

Racionalización de binomio de índice 2

Para racionalizar un binomio de índice 2, se debe hacer un proceso similar al ejercicio anterior, multiplicar el numerador y denominador de la fracción por el conjugado del denominador de la misma. En el siguiente ejemplo:

$\frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

hay que multiplicar el numerador y el denominador por ${\sqrt{2}-\sqrt{3}}$; este resultado es el que da el producto notable de los binomios conjugados.

$\frac{{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ · $\frac{{{\sqrt{2}-\sqrt{3}}}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ = $\frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{\sqrt{2^2}-\sqrt{3^2}}$

$\frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{\sqrt{2^2}-\sqrt{3^2}}$ = $\frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{{2}-{3}}$

$\frac{{2({\sqrt{2}-\sqrt{3}}) }}{{-1}}$ = ${-2(\sqrt{2}-\sqrt{3}})$

Racionalización de monomios con índices mayores que 2

Tómese el siguiente caso, ya que tenemos numeradores y denominadores fraccionados y multiplicados por indices mayores que 3.

$\frac{{2}}{\sqrt[5]{8a^3b^4}}$

Primero, todas las cantidades subradicales (si son números enteros elevados que no tienen exponente) se les debe obtener la raíz enésima.

$\frac{{2}}{\sqrt[5]{8a^3b^4}}$ = $\frac{{2}}{\sqrt[5]{2^3a^3b^4}}$

Ahora, la cantidad que deberá ser multiplicada al numerador y denominador de la fracción sigue un procedimiento diferente a las anteriores.

Las cantidades exponenciales de los subradicales del radical para multiplicar al numerador y denominador de la fracción será el número del exponente que falta para acercarse al índice del radical. En caso de que el exponente sea mayor que el índice de la raíz, la cantidad de aquel exponente será la que falte para llegar al múltiplo más cercano de la raíz.

Para :$\sqrt[5]{2^3a^3b^4}$, es $\sqrt[5] {2^2a^2b}$, ya que éste es el radical que al ser multiplicado por el denominador los exponentes de las cantidades subradicales serán iguales al índice de la raíz...

Ahora, se procede a multiplicar el numerador y el denominador:

$\frac{{2}}{\sqrt[5]{2^3a^3b^4}}$ · $\frac{\sqrt[5]{2^2a^2b} }{\sqrt[5]{2^2a^2b}}$ = $\frac{{2\sqrt[5]{2^2a^2b}}}{\sqrt[5]{2^5a^5b^5}}$

Despejando las raíces, que son de índice 5:

$\frac{{2\sqrt[5]{2^2a^2b}}}{\sqrt[5]{2^5a^5b^5}}$ = $\frac{{2\sqrt[5]{4a^2b}}}{{2ab}}$

Simplificando, se obtiene:

$\frac{{2\sqrt[5]{4a^2b}}}{{2ab}}$ = $\frac{{\sqrt[5]{4a^2b}}}{{ab}}$

Racionalización de binomios con radical mayor a 2

Cuando se tiene la diferencia de dos radicales de índice 3, es preciso utilizar productos notables.

$\frac{{1}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}$

Tomamos este producto notable.

$a - b = (\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b} )$ $[\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}]$

Se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por el segundo factor.

$\frac{{1}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}$ · $\frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab}+ \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab}+ \sqrt[3]{b^2}}$

En el denominador ha quedado el producto notable. Lo cambiamos por su expresión simple y ya está.

$\frac{{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab}+ \sqrt[3]{b^2}}}{{{a}-{b}}}$

Si se trata de la suma de dos radicales de índice 3:

$\frac{{1}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$

Hay que usar este otro producto notable.

$a + b = (\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b} )$ $[\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}]$

Se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por el segundo factor.

$\frac{{1}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$ · $\frac{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab}+ \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab}+ \sqrt[3]{b^2}}$

En el denominador ha quedado el producto notable. Lo cambiamos por su expresión simple y ya está.

$\frac{{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab}+ \sqrt[3]{b^2}}}{{{a}+{b}}}$

Véase también

• Radicación
• Raíz cuadrada
• Raíz cúbica
• Productos notables

Bibliografía

Suárez Bracho, Estrella y Durán Cepeda, Darío (2003) Matemáticas Noveno año. Caracas: Editorial Santillana.