Espiral de Teodoro

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La espiral de Teodoro formada hasta el triángulo de hipotenusa √17

En geometría, la espiral de Teodoro, también llamada caracola pitagórica, espiral pitagórica, espiral de Einstein o espiral de raíces cuadradas es una espiral compuesta de triángulos rectángulos contiguos (uno al lado de otro), atribuida a Teodoro de Cirene

Construcción[editar]

El espiral se inicia con un triángulo rectángulo isósceles, con ambos catetos de longitud 1 unidad (1u). Otro triángulo rectángulo se forma, siendo un cateto de longitud la hipotenusa del primer triángulo, en este caso la raíz cuadrada de 2 y el otro cateto de longitud 1 unidad; la longitud de la hipotenusa de segundo triángulo es raíz cuadrada de 3. Este proceso se repite; el i-ésimo triángulo en la secuencia es un triángulo rectángulo con sus catetos de longitud √i y 1, e hipotenusa √(i + 1).Llegando a tener un maximo de raiz cuadrada , la cual queda en 17

Historia[editar]

A pesar de haberse perdido todas las obras de Teodoro, platón en su diálogo Teeteto incluye referencias a él y a sus trabajos. En sus trabajos se supone que demostró la irracionalidad de las raíces desde la 3 hasta la 17 por medio de esta espiral. Platón no atribuye a Teodoro la raíz cuadrada de 2 al ser ya conocida por matemáticos anteriores a Teodoro.

Hipotenusa[editar]

Cada una de las hipotenusas de los triángulos hi dan la raíz cuadrada para el número natural consecutivo, con h1 = √2 , h2 = √3, h3 = √4=2 y así sucesivamente.

Extensión[editar]

La espiral de Teodoro extendida a tres vueltas o brazos

Teodoro finaliza esta espiral en el triángulo rectángulo de hipotenusa √17. Si la espiral continua con la construcción de infinitos triángulos, surgen muchas características y propiedades interesantes

Propiedades de crecimiento[editar]

Ángulos[editar]

Si φn es el ángulo del n-ésimo triángulo (o segmento de espiral), entonces:

\tan\left(\varphi_n\right)=\frac{1}{\sqrt{n}}.

Por lo tanto, el crecimiento del ángulo φn del siguiente triángulo n es:[1]

\varphi_n=\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right).

La suma de los triángulos de los primeros k triángulos, se designa ángulo total φ(k) del k triángulo, y es igual a:

\varphi\left (k\right)=\sum_{n=1}^k\varphi_n = 2\sqrt{k}+c_2(k)

con

\lim_{k \to \infty} c_2(k)= - 2.157782996659\ldots.

Un triángulo o sección de la espiral

Radio[editar]

El crecimiento del radio de la espiral hasta un cierto triángulo n es

\Delta r=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}.

Espiral de Arquimedes[editar]

La espiral de Teodoro se aproxima a una espiral de Arquimedes. La distancia entre dos brazos de la espiral de Arquimedes es igual a la constante matemática pi, como el número de giros de la espiral de Teodoro se tiende a infinito, la distancia entre dos brazos de espiral consecutivos crece rápidamente y se aproxima a π.

La siguiente tabla muestra la distancia entre dos brazos de la espiral de Teodoro aproximándose a pi:

Revolución o brazo No.: Promedio calculado de la distancia entre el brazo y el anterior Exactitud en comparación a π
2 3.1592037 99.44255%
3 3.1443455 99.91245%
4 3.14428 99.91453%
5 3.142395 99.97447%
→ π → 100%

Como puede verse, después de la quinta vuelta de la espiral, la distancia tiene un exactitud aproximada de 99.97% a π.

Referencias[editar]

  1. Harry K. Hahn, Kay Schoenberger (13 de diciembre de 2007). «The ordered distribution of natural numbers on the square root spiral» (en inglés). Arxiv. Consultado el 19 de julio de 2012.