Ecuación de segundo grado

Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y = o), si los hubiese, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática.

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación que tiene la forma de una suma de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática es:

$ax^2 + bx + c = 0, \quad \mbox{para}\;a\neq 0$

donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede representar mediante una gráfica de una función cuadrática o parábola. Esta representación gráfica es útil, porque la intersección de esta gráfica con el eje horizontal coinciden con las soluciones de la ecuación (y dado que pueden existir dos, una o ninguna intersección, esos pueden ser los números de soluciones de la ecuación).

Historia

El origen y la solución de las ecuaciones de segundo grado son de gran antigüedad. En Babilonia se conocieron algoritmos para resolverla. El resultado también fue encontrado independientemente en otros lugares del mundo. En Grecia, el matemático Diofanto de Alejandría aportó un procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones (aunque su método sólo proporcionaba una de las soluciones, aun en el caso de que las dos soluciones sean positivas). También el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum, discute la solución de estas ecuaciones.

Fórmula cuadrática

De una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas. Se denomina fórmula cuadrática a la ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática:

$x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

donde el símbolo ± indica que los valores

$x_1 = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

y

$\ x_2 = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

constituyen las dos soluciones.

Discriminante

Ejemplo del signo del discriminante:
■ < 0: no posee soluciones reales;
■ = 0: posee una solución real (multiplicidad 2);
■ > 0: posee dos soluciones reales distintas.

En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Suele representarse con la letra D o bien con el símbolo Δ (delta):

$\Delta = b^2 - 4ac.\,$

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solución real de multiplicidad 2, o bien dos raíces complejas. El discriminante determina la índole y la cantidad de raíces.

• Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):

$\frac{-b + \sqrt {\Delta}}{2a} \quad\text{y}\quad \frac{-b - \sqrt {\Delta}}{2a}$.

• Una solución real doble si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje de las abscisas: X):

$-\frac{b}{2a} . \,\!$

• Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola no corta al eje de las abscisas: X):

$\frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a}, \quad\text{y}\quad \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a},$

donde i es la unidad imaginaria.

En conclusión, las raíces son distintas si el discriminante es no nulo, y son números reales si –sólo si– el discriminante es no negativo.

Ecuación bicuadrática

Expresada de modo más general, una ecuación cuadrática en $x^n\,$ es de la forma:

(*) $ax^{2n} +bx^n + c = 0 \,$

con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática. Si se hace el cambio de variable $y = x^n\,$, las soluciones de la ecuación (*) pueden reducirse a las soluciones de una ecuación cuadrática. Si $y_1 \neq y_2\,$ son soluciones de la ecuación:

$ay^2 +by + c = 0 \,$

Entonces las otras soluciones, algunas de las cuales pueden ser complejas son:

$\begin{cases} x_k = (y_1)^{\frac{1}{n}} \left(\cos\frac{2\pi k}{n} + i \sin\frac{2\pi k}{n}\right) & k = 1\dots n \\ x_k = (y_2)^{\frac{1}{n}} \left(\cos\frac{2\pi k}{n} + i \sin\frac{2\pi k}{n}\right) & k = n+1\dots 2n \end{cases}$

Clasificación

La ecuación de segundo grado se clasifica de la manera siguiente:^{[cita requerida]}

1. Completa. Es la forma canónica:

$ax^2 + bx + c = 0 \,$

donde las tres literales: a, b y c, son distintas de cero.

Esta ecuación admite tres maneras para las soluciones: 1) dos números reales y diferentes; 2) dos números reales e iguales (un número real doble); 3) dos números complejos conjugados, según el valor del discriminante

$\Delta = b^2 - 4ac \,$

ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.

Se resuelven por factorización, o por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. Esta fórmula se deduce más adelante.

2. Incompleta pura. Puede expresarse de las dos maneras siguientes:

$ax^2 + c = 0 \,$

donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x mediante operaciones inversas. Su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y de c son de signo contrario, o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y de c son del mismo signo.

Una ecuación cuadrática incompleta:

$ax^2 = 0 \,$

con a distinto de cero. Prácticamente aparece muy raras veces. Por supuesto, su única solución de multiplicidad dos es x = 0.

3. Incompleta mixta. Se expresa así:

$ax^2 + bx = 0 \,$

donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x. Siempre su solución es la trivial x₁ = 0. En números imaginarios no hay solución.

Deducción para resolver la ecuación de la forma $a x^2+bx+c = 0$

La ecuación canónica de segundo grado se puede simplificar dividiendo por el coeficiente principal, de forma que

$ax^2+bx+c=0 \ \Leftrightarrow \ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$

Si usamos otras letras para simplificarlo de forma que $m = \frac{b}{a}$ y $n = \frac{c}{a}$ la demostración (que es algo más sencilla) queda como sigue:

Desde la ecuación

$x^2+mx+n=0 \,$

Transponiendo n

$x^2 + mx = -n \,$

Sumando $\frac{m^2}{4}$ a ambos términos

$x^2+mx+\frac{m^2}{4}=\frac{m^2}{4}-n$

Simplificamos el primer término a un binomio cuadrado

$\left( x+\frac{m}{2} \right)^2=\frac{m^2}{4}-n$

Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros

$x+\frac{m}{2} = \pm \sqrt{\frac{m^2}{4}-n}$

Transponiendo $\frac{m}{2}$ y simplificando la fraccion de la raíz

$x = \frac{-m}{2}\pm \sqrt{\frac{m^2 - 4n}{4}}$

Simplificando a común denominador

$x = \frac{-m \pm \sqrt{m^2-4n}}{2}$

si deshacemos el cambio de variables, obtenemos el resultado

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a }$

La demostración sin cambio de variables se puede ver aquí:

Demostración

Partimos de nuestra ecuación simplificada: $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$ Pasamos al otro término $\frac{c}{a}$: $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$ Sumamos $\frac{b^2}{4 a^2}$ para obtener un binomio desarrollado: $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4 a^2} = \frac{b^2}{4 a^2} - \frac{c}{a}$ El trinomio a la izquierda es un cuadrado perfecto; simplificando a común denominador el segundo miembro: $\, \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ Extrayendo las 2 posibles raíces cuadradas, obtenemos: $x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$ Moviendo $\frac{b}{2a}$ y aplicando la raíz al denominador: $x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ Simplificando a común denominador: $x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Teorema de Cardano-Viète

Partiendo de que tenemos una ecuación cuadrática con raíces $x_1 , x_2 \,$, podemos construir el binomio a partir de estas con

$(x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0 \,$

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0\,$

$a x^2 - a (x_1 + x_2)x + a x_1 x_2 = 0\,$

$a x^2 +bx + c = 0\,$

De lo que se deduce

Suma de raíces

$x_1 + x_2 = - \frac{ b }{ a } \,$

Demostración

Partiendo de igualar los términos del mismo grado $- a (x_1 + x_2)x = bx \,$ Se despeja la suma y se divide por x $(x_1 + x_2) = - \frac{ b }{ a } \,$

Demostración

Partiendo del uso de la fórmula resolvente $x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } \,$ Se suman los numeradores. Las raíces desaparecen, por ser opuestas $x_1 + x_2 = \frac{-2 b }{ 2a } \,$ Simplificando, queda: $x_1 + x_2 = - \frac{ b }{ a } \,$

Producto de raíces

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \,$

Demostración

Partiendo de igualar los términos del mismo grado $a x_1 x_2 = c \,$ Se despeja el producto de raices $x_1 x_2 = \frac{ c }{ a } \,$

Demostración

Partiendo del uso de la fórmula resolvente $x_1 \cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } \cdot \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a } \,$ Realizando la multiplicación, por medio del producto de binomios conjugados en el numerador: $x_1 \cdot x_2 = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2 }{ (2 a)^2 } \,$ Resolviendo las potencias, resulta: $x_1 \cdot x_2 = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac) }{ 4 a^2 } \,$ Distribuyendo el signo «menos» y sumando en el numerador $x_1 \cdot x_2 = \frac{ 4ac }{ 4 a^2 } \,$ Simplificando, queda $x_1 \cdot x_2 = \frac{ c }{ a } \,$

Para obtener la diferencia de raíces se puede hacer uso de la identidad de Legendre.

$(x_1+x_2)^2-(x_1-x_2)^2=4(x_1 \cdot x_2) \,$

Demostración

Solo es necesario desarrollar los binomios $x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2 - (x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2) \,$ Donde finalmente queda $4 x_1 x_2 \,$

Véase también

• Función cuadrática
• Ecuación de tercer grado
• Ecuación de cuarto grado
• Ecuación de quinto grado

Enlaces externos

Wikilibros

• Wikilibros alberga un libro o manual sobre Ecuación cuadrática.
• Ecuaciones cuadráticas. Disfruta las matemáticas, Pierce, Rod.
• La ecuación de segundo grado, en descartes.cnice.mec.es
• Vídeo explicativo de la ecuación cuadrática
• Calculadora Ecuación de segundo grado (english)