Identidades logarítmicas

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En matemática, hay muchas identidades logarítmicas.

Identidades algebraicas[editar]

Con operaciones simples[editar]

Los logaritmos se utilizan generalmente para hacer más simples las operaciones. Por ejemplo, se pueden multiplicar dos números utilizando una tabla de logaritmos y sumando.

 \log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) \!\, porque  b^m \cdot b^n = b^{m + n}
 \log_b\!\left(\begin{matrix}\frac{x}{y}\end{matrix}\right) = \log_b(x) - \log_b(y) porque  \begin{matrix}\frac{b^m}{b^n}\end{matrix} = b^{m - n}
 \log_b(x^y) = y \log_b(x) \!\, porque  (b^n)^y = b^{ny} \!\,
 \log_b\!\left(\!\sqrt[y]{x}\right) = \begin{matrix}\frac{\log_b(x)}{y}\end{matrix} porque  \sqrt[y]{x} = x^{1/y}

Cancelación de exponentes[editar]

Los logaritmos y exponenciales (antilogaritmos) con la misma base se cancelan.

 b^{\log_b(x)} = x porque  \mathrm{antilog}_b(\log_b(x)) = x \!\,
 \log_b(b^x) = x \!\, porque  \log_b(\mathrm{antilog}_b(x)) = x \!\,

Cambio de base[editar]

\log_a b = {\log_c b \over \log_c a}

Esta identidad se requiere para evaluar logaritmos con calculadoras. La mayoría de las calculadores sólo pueden procesar ln y log10, pero no por ejemplo log2. Para encontrar log2(3), basta calcular log10(3) / log10(2) (ó bien ln(3)/ln(2), que da idéntico resultado).

Demostración
A partir de un logaritmo tal que:
 y = \log_a b \rightarrow a^y = b

Tomando \log_c en ambos lados de la segunda ecuación:

 \log_c a^y = \log_c b \,

Se despeja y:

 y \log_c a = \log_c b \,
 y = \frac{\log_c b}{\log_c a} \,

Finalmente, como y = \log_a b:

 \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

Consecuencias[editar]

Esta fórmula tiene varias consecuencias:

\log_a b = \frac{1}{\log_b a}
\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b
a^{\log_b c} = c^{\log_b a}

Identidades triviales[editar]

 \log_b1 = 0 \!\, porque  b^0 = 1\!\,
 \log_bb = 1 \!\, porque  b^1 = b\!\,

Identidades de cálculo[editar]

Límites[editar]

\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty \quad \mbox{si } a > 1
\lim_{x \to 0^+} \log_a x =  \infty \quad \mbox{si } a < 1
\lim_{x \to \infty} \log_a x =   \infty \quad \mbox{si } a > 1
\lim_{x \to \infty} \log_a x =  -\infty \quad \mbox{si } a < 1
\lim_{x \to 0^+} x^b \log_a x = 0
\lim_{x \to \infty} {1 \over x^b} \log_a x = 0

El último límite se resume frecuentemente diciendo "los logaritmos crecen más lentamente que cualquier potencia o raíz de x".

Derivadas de funciones logarítmicas[editar]

{d \over dx} \log_a x ={d \over dx} {\ln x \over \ln a}= {1 \over x \ln a} = {\log_a e \over x }

Integrales de funciones logarítmicas[editar]

\int \log_a x \, dx = x(\log_a x - \log_a e) + C

Para recordar integrales más grandes, es conveniente definir:

x^{\left [ n \right ]} := x^{n}(\log(x) - H_n)

Donde H_n es el n-ésimo número armónico. Así, las primeras serían:

x^{\left [ 0 \right ]} = \log x
x^{\left [ 1 \right ]} = x \log(x) - x
x^{\left [ 2 \right ]} = x^2 \log(x) - \begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix} \, x^2
x^{\left [ 3 \right ]} = x^3 \log(x) - \begin{matrix} \frac{11}{6} \end{matrix} \, x^3

Entonces,

\frac {d}{dx} \, x^{\left [ n \right ]} = n \, x^{\left [ n-1 \right ]}
\int x^{\left [ n \right ]}\,dx = \frac {x^{\left [ n+1 \right ]}} {n+1} + C

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]