Identidades logarítmicas

En matemática, hay muchas identidades logarítmicas.

Identidades algebraicas

Con operaciones simples

Los logaritmos son generalmente utilizados para hacer más simples las operaciones. Por ejemplo, dos números pueden ser multiplicados utilizando una tabla de logaritmos y sumando.

$\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) \!\,$	porque	$b^m \cdot b^n = b^{m + n}$
$\log_b\!\left(\begin{matrix}\frac{x}{y}\end{matrix}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$	porque	$\begin{matrix}\frac{b^m}{b^n}\end{matrix} = b^{m - n}$
$\log_b(x^y) = y \log_b(x) \!\,$	porque	$(b^n)^y = b^{ny} \!\,$
$\log_b\!\left(\!\sqrt[y]{x}\right) = \begin{matrix}\frac{\log_b(x)}{y}\end{matrix}$	porque	$\sqrt[y]{x} = x^{1/y}$

Cancelando exponentes

Los logaritmos y exponenciales (antilogaritmos) con la misma base se cancelan.

$b^{\log_b(x)} = x$	porque	$\mathrm{antilog}_b(\log_b(x)) = x \!\,$
$\log_b(b^x) = x \!\,$	porque	$\log_b(\mathrm{antilog}_b(x)) = x \!\,$

Cambio de base

$\log_a b = {\log_c b \over \log_c a}$

Esta identidad es requerida para evaluar logaritmos con calculadoras. La mayoría de las calculadores sólo pueden procesar ln y log₁₀, pero no por ejemplo log₂. Para encontrar log₂(3), basta calcular log₁₀(3) / log₁₀(2) (ó bien ln(3)/ln(2), que da idéntico resultado).

Demostración

A partir de un logaritmo tal que: $y = \log_a b \rightarrow a^y = b$ Tomando $\log_c$ en ambos lados de la segunda ecuación: $\log_c a^y = \log_c b \,$ Se despeja $y$: $y \log_c a = \log_c b \,$ $y = \frac{\log_c b}{\log_c a} \,$ Finalmente, como $y = \log_a b$: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Consecuencias

Esta fórmula tiene varias consecuencias:

$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

$\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$

$a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$

Identidades triviales

$\log_b1 = 0 \!\,$	porque	$b^0 = 1\!\,$
$\log_bb = 1 \!\,$	porque	$b^1 = b\!\,$

Identidades de cálculo

Límites

$\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty \quad \mbox{si } a > 1$

$\lim_{x \to 0^+} \log_a x = \infty \quad \mbox{si } a < 1$

$\lim_{x \to \infty} \log_a x = \infty \quad \mbox{si } a > 1$

$\lim_{x \to \infty} \log_a x = -\infty \quad \mbox{si } a < 1$

$\lim_{x \to 0^+} x^b \log_a x = 0$

$\lim_{x \to \infty} {1 \over x^b} \log_a x = 0$

El último límite es sumarizado frecuentemente como "los logaritmos crecen más lentamente que cualquier poder o raíz de x".

Derivadas de funciones logarítmicas

${d \over dx} \log_a x = {1 \over x \ln a} = {\log_a e \over x }$

Integrales de funciones logarítmicas

$\int \log_a x \, dx = x(\log_a x - \log_a e) + C$

Para recordar integrales más grandes, es conveniente definir:

$x^{\left [ n \right ]} := x^{n}(\log(x) - H_n)$

Donde $H_n$ es el n-ésimo número armónico. Así, las primeras serían:

$x^{\left [ 0 \right ]} = \log x$

$x^{\left [ 1 \right ]} = x \log(x) - x$

$x^{\left [ 2 \right ]} = x^2 \log(x) - \begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix} \, x^2$

$x^{\left [ 3 \right ]} = x^3 \log(x) - \begin{matrix} \frac{11}{6} \end{matrix} \, x^3$

Entonces,

$\frac {d}{dx} \, x^{\left [ n \right ]} = n \, x^{\left [ n-1 \right ]}$

$\int x^{\left [ n \right ]}\,dx = \frac {x^{\left [ n+1 \right ]}} {n+1} + C$

Véase también

• Identidades trigonométricas

Enlaces externos

• Simmons, Bruce (2011), «Logarithm» (en inglés), Mathwords, http://www.mathwords.com/l/logarithm.htm 
• Weisstein, Eric W. «Identidades logarítmicas» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.