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Poliedro uniforme estrellado

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Una exposición de poliedros uniformes en el Museo de Ciencias de Londres
El pequeño icosicosidodecaedro romo es un poliedro uniforme estrellado, con figura de vértice 35.5/2

En la geometría, un poliedro uniforme estrellado es un poliedro uniforme autointersecado. A veces también se les llama poliedros uniformes no convexos. Pueden estar formado ya sea por polígonos no convexos, por figuras de vértice no convexas o por ambas.

El conjunto completo de los 57 poliedros uniformes estrellados no prismáticos incluye las 4 figuras regulares, llamadas sólidos de Kepler-Poinsot, 5 figuras cuasiregulares, y 48 figuras semiregulares.

Existen también dos conjuntos infinitos de prismas estrellados uniformes y antiprismas estrellados uniformes.

De la misma forma que los polígonos estrellados (no degenerados), con densidad mayor a 1, corresponden a polígonos circulares con partes sobrepuestas, los poliedros estrellados que no pasan por su centro tienen densidad mayor a 1, y corresponden a poliedros esféricos con partes sobrepuestas; hay 47 tales poliedros uniformes no prismáticos. Los 10 poliedros uniformes no prismáticos restantes, aquellos que pasan por el centro, son los hemipoliedros junto con el Monstruo de Miller, y no tienen densidades bien definidas.

Las formas no convexas se construyen a partir de triángulos de Schwarz.

Todos los poliedros uniformes están enlistados abajo por sus grupos de simetría, y subdivididos por sus disposiciones de vértices.

Los poliedros regulares se etiquetan por su Símbolo de Schläfli. Los demás poliedros uniformes no regulares están listados junto con su figura de vértice.

Nota: Para las formas no convexas siguientes, un descriptor adicional no uniforme se utiliza cuando la disposición de vértices de la envolvente convexa tiene la misma topología que una de estas, pero tiene caras no regulares. Por ejemplo, una forma cantelada no uniforme podría tener rectángulos creados en el lugar de las aristas, en vez de cuadrados.

Simetría diedral

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Véase: Poliedro prismático uniforme

Simetría tetraédrica

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Triángulos (3 3 2) en la esfera

Hay una forma no convexa, el tetrahemihexaedro que tiene simetría tetraédrica (con dominio fundamental del triángulo de Möbius (3 3 2)).

Hay dos triángulos de Schwarz que generan poliedros uniformes estrellados únicos: un triángulo rectángulo (32 3 3) y un triángulo general (32 3 3). El triángulo general (32 3 3) genera el octahemioctaedro, el cual se encuentra más adelante debido a su simetría octaédrica completa.

Configuración de vértices
(Envolvente convexa)
Formas no convexas

Tetraedro
 

Tetraedro rectificado
Octaedro

4.32.4.3
32 3 | 2

Tetraedro truncado
 

Tetraedro cantelado
(Cuboctaedro)
 

Tetraedro omnitruncado
(Octaedro truncado)
 

Tetraedro romo
(Icosaedro)
 

Simetría octaédrica

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Triángulos (4 3 2) en la esfera

Hay 8 formas convexas y 10 formas no convexas con simetría octaédrica (con dominio fundamental del triángulo de Möbius (4 3 2)).

Hay cuatro triángulos de Schwarz que generan formas no convexas, dos triángulos rectángulos (32 4 2) y (43 3 2), y dos triángulos generales (43 4 3), (32 4 4).

Configuración de vértices
(Envolvente convexa)
Formas no convexas

Cubo
 

Octaedro
 

Cuboctaedro

6.43.6.4
43 4 | 3

6.32.6.3
32 3 | 3

Cubo truncado

4.83.43.85
2 43 (32 42) |

83.3.83.4
3 4 | 43

4.32.4.4
32 4 | 2

Octaedro truncado
 

Rombicuboctaedro

4.8.43.8
2 4 (32 42) |

8.32.8.4
32 4 | 4

83.83.3
2 3 | 43

Cuboctaedro truncado
no uniforme

4.6.83
2 3 43 |

Cuboctaedro truncado
no uniforme

83.6.8
3 4 43 |

Cubo romo
 

Simetría icosaédrica

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Triángulos (5 3 2) en la esfera

Hay 8 formas convexas y 46 formas no convexas con simetría icosaédrica (con dominio fundamental de triángulo de Möbius (5 3 2)), o 47 formas no convexas si se incluye la figura de Skilling. Algunas de las formas romas no convexas poseen simetría de reflexión en los vértices.

Configuración de vértices
(Envolvente convexa)
Formas no convexas

Icosaedro

{5,52}

{52,5}

{3,52}

Icosaedro truncado
no uniforme

10.10.52
2 52 | 5

3.103.52.107
52 3 | 53

3.4.53.4
53 3 | 2

4.103.43.107
2 53 (3/2 54) |

Icosaedro truncado
no uniforme

4.52.4.5
52 5 | 2

5.6.53.6
53 5 | 3

4.6.43.65
2 3 (54 52) |

Icosaedro truncado
no uniforme

35.52
| 52 3 3

Icosidodecaedro

3.10.32.10

5.10.54.10

3.52.3.52
2 | 3 52

52.103.53.103
53 52 | 53

3.103.32.103
3 3 | 53

5.52.5.52
2 | 5 52

6.52.6.53
53 52 | 3

5.6.54.6
54 5 | 3

Dodecaedro truncado
no uniforme


3.103.5.103
3 5 | 53

5.6.32.6
32 5 | 3

6.103.65.107
3 53 (32 52) |

Dodecaedro truncado
no uniforme

(35.53)/2
| 32 32 52

Dodecaedro

{52,3}

(3.52)3
3 | 52 3

(5.53)3
3 | 53 5

(3.5)3/2

32 | 3 5


Pequeño rombicosidodecaedro

5.10.32.10
32 5 | 5

4.10.43.109
2 5 32 52) |

5.103.103
2 5 | 53

Rombicosidodecaedro
no uniforme

6.6.52
2 52 | 3

Rombicosidodecaedro
no uniforme

6.52.6.3
52 3 | 3

3.10.53.10
53 3 | 5

6.10.65.109
3 5 (32 54) |

3.103.103
2 3 | 53

Rombicosidodecaedro
no uniforme

4.53.4.3.4.52.4.32
| 32 53 3 52

3.3.3.52.3.53
| 53 52 3

Figura de Skilling
(ver abajo)

Icosidodecaedro truncado
no uniforme

6.10.103
3 5 53 |

Dodecadodecaedro truncado
no uniforme

4.109.103
2 5 53 |

Icosidodecaedro truncado
no uniforme

4.6.103
2 3 53 |

Dodecaedro romo
no uniforme

3.3.52.3.5
| 2 52 5

3.3.3.5.3.53
| 53 3 5

34.52
| 2 52 3

34.53
| 53 2 3

3.3.5.3.53
| 53 2 5

(34.52)/2
| 32 53 2

Casos degenerados

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Coxeter identificó un número de poliedros estrellados degenerados creados por el método de construcción de Wythoff, que contienen aristas o vértices sobrepuestos. Estas formas degeneradas incluyen las siguientes:

Figura de Skilling

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Un último poliedro no convexo degenerado es el gran dirrombidodecaedro birromo, también conocido como figura de Skilling. Sus vértices presentan una configuración uniforme, pero posee parejas de aristas coincidiendo en el espacio, de manera que cuatro caras se unen en algunas aristas. Debido a esta propiedad, se considera un poliedro uniforme degenerado. Posee simetría Ih.

Véase también

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Referencias

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Enlaces externos

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