Poliedro uniforme estrellado

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Una exposición de poliedros uniformes en el Museo de Ciencias de Londres
El pequeño icosicosidodecaedro romo es un poliedro uniforme estrellado, con figura de vértice 35.5/2

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En la geometría, un poliedro uniforme estrellado es un poliedro uniforme autointersecado. A veces también se les llama poliedros uniformes no convexos. Pueden estar formado ya sea por polígonos no convexos, por figuras de vértice no convexas o por ambas.

El conjunto completo de los 57 poliedros uniformes estrellados no prismáticos incluye las 4 figuras regulares, llamadas sólidos de Kepler-Poinsot, 5 figuras cuasiregulares, y 48 figuras semiregulares.

Existen también dos conjuntos infinitos de prismas estrellados uniformes y antiprismas estrellados uniformes.

De la misma forma que los polígonos estrellados (no degenerados), con densidad mayor a 1, corresponden a polígonos circulares con partes sobrepuestas, los poliedros estrellados que no pasan por su centro tienen densidad mayor a 1, y corresponden a poliedros esféricos con partes sobrepuestas; hay 47 tales poliedros uniformes no prismáticos. Los 10 poliedros uniformes no prismáticos restantes, aquellos que pasan por el centro, son los hemipoliedros junto con el Monstruo de Miller, y no tienen densidades bien definidas.

Las formas no convexas se construyen a partir de triángulos de Schwarz.

Todos los poliedros uniformes están enlistados abajo por sus grupos de simetría, y subdivididos por sus disposiciones de vértices.

Los poliedros regulares se etiquetan por su Símbolo de Schläfli. Los demás poliedros uniformes no regulares están listados junto con su figura de vértice.

Nota: Para las formas no convexas siguientes, un descriptor adicional no uniforme se utiliza cuando la disposición de vértices de la envolvente convexa tiene la misma topología que una de estas, pero tiene caras no regulares. Por ejemplo, una forma cantelada no uniforme podría tener rectángulos creados en el lugar de las aristas, en vez de cuadrados.

Simetría diedral[editar]

Ver Poliedro prismático uniforme.

Simetría tetraédrica[editar]

Triángulos (3 3 2) en la esfera

Hay una forma no convexa, el tetrahemihexaedro que tiene simetría tetraédrica (con dominio fundamental del triángulo de Möbius (3 3 2)).

Hay dos triángulos de Schwarz que generan poliedros uniformes estrellados únicos: un triángulo rectángulo (32 3 3) y un triángulo general (32 3 3). El triángulo general (32 3 3) genera el octahemioctaedro, el cual se encuentra más adelante debido a su simetría octaédrica completa.

Configuración de vértices
(Envolvente convexa)
Formas no convexas
Tetrahedron.png
Tetraedro
 
Rectified tetrahedron.png
Tetraedro rectificado
Octaedro
Tetrahemihexahedron.png
4.32.4.3
32 3 | 2
Truncated tetrahedron.png
Tetraedro truncado
 
Cantellated tetrahedron.png
Tetraedro cantelado
(Cuboctaedro)
 
Uniform polyhedron-33-t012.png
Tetraedro omnitruncado
(Octaedro truncado)
 
Uniform polyhedron-33-s012.png
Tetraedro romo
(Icosaedro)
 

Simetría octaédrica[editar]

Triángulos (4 3 2) en la esfera

Hay 8 formas convexas y 10 formas no convexas con simetría octaédrica (con dominio fundamental del triángulo de Möbius (4 3 2)).

Hay cuatro triángulos de Schwarz que generan formas no convexas, dos triángulos rectángulos (32 4 2) y (43 3 2), y dos triángulos generales (43 4 3), (32 4 4).

Configuración de vértices
(Envolvente convexa)
Formas no convexas
Hexahedron.png
Cubo
 
Octahedron.png
Octaedro
 
Cuboctahedron.png
Cuboctaedro
Cubohemioctahedron.png
6.43.6.4
43 4 | 3
Octahemioctahedron.png
6.32.6.3
32 3 | 3
Truncated hexahedron.png
Cubo truncado
Great rhombihexahedron.png
4.83.43.85
2 43 (32 42) |
Great cubicuboctahedron.png
83.3.83.4
3 4 | 43
Uniform great rhombicuboctahedron.png
4.32.4.4
32 4 | 2
Truncated octahedron.png
Octaedro truncado
 
Small rhombicuboctahedron.png
Rombicuboctaedro
Small rhombihexahedron.png
4.8.43.8
2 4 (32 42) |
Small cubicuboctahedron.png
8.32.8.4
32 4 | 4
Stellated truncated hexahedron.png
83.83.3
2 3 | 43
Great truncated cuboctahedron convex hull.png
Cuboctaedro truncado
no uniforme
Great truncated cuboctahedron.png
4.6.83
2 3 43 |
Cubitruncated cuboctahedron convex hull.png
Cuboctaedro truncado
no uniforme
Cubitruncated cuboctahedron.png
83.6.8
3 4 43 |
Snub hexahedron.png
Cubo romo
 

Simetría icosaédrica[editar]

Triángulos (5 3 2) en la esfera

Hay 8 formas convexas y 46 formas no convexas con simetría icosaédrica (con dominio fundamental de triángulo de Möbius (5 3 2)), o 47 formas no convexas si se incluye la figura de Skilling. Algunas de las formas romas no convexas tienen simetría reflexional en los vértices.

Configuración de vértices
(Envolvente convexa)
Formas no convexas
Icosahedron.png
Icosaedro
Great dodecahedron.png
{5,52}
Small stellated dodecahedron.png
{52,5}
Great icosahedron.png
{3,52}
Nonuniform truncated icosahedron.png
Icosaedro truncado
no uniforme
Great truncated dodecahedron.png
10.10.52
2 52 | 5
Great dodecicosidodecahedron.png
3.103.52.107
52 3 | 53
Uniform great rhombicosidodecahedron.png
3.4.53.4
53 3 | 2
Great rhombidodecahedron.png
4.103.43.107
2 53 (3/2 54) |
Rhombidodecadodecahedron convex hull.png
Icosaedro truncado
no uniforme
Rhombidodecadodecahedron.png
4.52.4.5
52 5 | 2
Icosidodecadodecahedron.png
5.6.53.6
53 5 | 3
Rhombicosahedron.png
4.6.43.65
2 3 (54 52) |
Small snub icosicosidodecahedron convex hull.png
Icosaedro truncado
no uniforme
Small snub icosicosidodecahedron.png
35.52
| 52 3 3
Icosidodecahedron.png
Icosidodecaedro
Small icosihemidodecahedron.png
3.10.32.10
Small dodecahemidodecahedron.png
5.10.54.10
Great icosidodecahedron.png
3.52.3.52
2 | 3 52
Great dodecahemidodecahedron.png
52.103.53.103
53 52 | 53
Great icosihemidodecahedron.png
3.103.32.103
3 3 | 53
Dodecadodecahedron.png
5.52.5.52
2 | 5 52
Small dodecahemicosahedron.png
6.52.6.53
53 52 | 3
Great dodecahemicosahedron.png
5.6.54.6
54 5 | 3
Truncated dodecahedron.png

Dodecaedro truncado
no uniforme

Great ditrigonal dodecicosidodecahedron.png
3.103.5.103
3 5 | 53
Great icosicosidodecahedron.png
5.6.32.6
32 5 | 3
Great dodecicosahedron.png
6.103.65.107
3 53 (32 52) |
Small retrosnub icosicosidodecahedron convex hull.png
Dodecaedro truncado
no uniforme
Small retrosnub icosicosidodecahedron.png
(35.53)/2
| 32 32 52
Dodecahedron.png
Dodecaedro
Great stellated dodecahedron.png
{52,3}
Small ditrigonal icosidodecahedron.png
(3.52)3
3 | 52 3
Ditrigonal dodecadodecahedron.png
(5.53)3
3 | 53 5
Great ditrigonal icosidodecahedron.png
(3.5)3/2

32 | 3 5

Small rhombicosidodecahedron.png
Rombicosidodecaedro
Small dodecicosidodecahedron.png
5.10.32.10
32 5 | 5
Small rhombidodecahedron.png
4.10.43.109
2 5 32 52) |
Small stellated truncated dodecahedron.png
5.103.103
2 5 | 53
Truncated great icosahedron convex hull.png
Rombicosidodecaedro
no uniforme
Great truncated icosahedron.png
6.6.52
2 52 | 3
Nonuniform-rhombicosidodecahedron.png
Rombicosidodecaedro
no uniforme
Small icosicosidodecahedron.png
6.52.6.3
52 3 | 3
Small ditrigonal dodecicosidodecahedron.png
3.10.53.10
53 3 | 5
Small dodecicosahedron.png
6.10.65.109
3 5 (32 54) |
Great stellated truncated dodecahedron.png
3.103.103
2 3 | 53
Nonuniform2-rhombicosidodecahedron.png
Rombicosidodecaedro
no uniforme
Great dirhombicosidodecahedron.png
4.53.4.3.4.52.4.32
| 32 53 3 52
Great snub dodecicosidodecahedron.png
3.3.3.52.3.53
| 53 52 3
Great disnub dirhombidodecahedron.png
Figura de Skilling
(ver abajo)
Icositruncated dodecadodecahedron convex hull.png
Icosidodecaedro truncado
no uniforme
Icositruncated dodecadodecahedron.png
6.10.103
3 5 53 |
Truncated dodecadodecahedron convex hull.png
Icosidodecaedro truncado
no uniforme
Truncated dodecadodecahedron.png
4.109.103
2 5 53 |
Great truncated icosidodecahedron convex hull.png
Icosidodecaedro truncado
no uniforme
Great truncated icosidodecahedron.png
4.6.103
2 3 53 |
Snub dodecahedron ccw.png
Dodecaedro romo
no uniforme
Snub dodecadodecahedron.png
3.3.52.3.5
| 2 52 5
Snub icosidodecadodecahedron.png
3.3.3.5.3.53
| 53 3 5
Great snub icosidodecahedron.png
34.52
| 2 52 3
Great inverted snub icosidodecahedron.png
34.53
| 53 2 3
Inverted snub dodecadodecahedron.png
3.3.5.3.53
| 53 2 5
Great retrosnub icosidodecahedron.png
(34.52)/2
| 32 53 2

Casos degenerados[editar]

Coxeter identificó un número de poliedros estrellados degenerados creados por el método de construcción de Wythoff, que contienen aristas o vértices sobrepuestos. Estas formas degeneradas incluyen las siguientes:

Figura de Skilling[editar]

Un último poliedro no convexo degenerado es el gran dirrombidodecaedro birromo, también conocido como la Figura de Skilling, la cual es de vértices uniformes, pero tiene parejas de aristas coincidiendo en el espacio, de manera que cuatro caras se unen en algunas aristas. Debido a esta propiedad, se considera un poliedro uniforme degenerado. Tiene simetría Ih.

Great disnub dirhombidodecahedron.png

Véase también[editar]

Referencias[editar]


Enlaces externos[editar]