Sólido de Kepler-Poinsot

De Wikipedia, la enciclopedia libre
(Redirigido desde «Sólidos de Kepler-Poinsot»)
Saltar a: navegación, búsqueda

Un sólido de Kepler (también llamado sólido de Kepler-Poinsot) es un poliedro regular no convexo, cuyas caras son todas polígonos regulares y que tiene en todos sus vértices el mismo número de caras concurrentes (compárese con los sólidos platónicos).

Existen sólo cuatro tipos, con las denominaciones siguientes:

Las caras están solo parcialmente en la superficie del sólido, y las partes expuestas están sólo conectadas en puntos (si están conectadas de algún modo). Si las partes se cuentan como caras separadas, el sólido deja de ser regular.

Los sólidos de Kepler-Poinsot con sus símbolos de Schläfli.

Un sólido de Kepler cubre su esfera circunscrita más de una vez (con una esfera interior y otra exterior), con los centros de las caras como puntos direccionales en los sólidos que tienen caras en forma de pentagrama, mientras que en los otros son los vértices los que cumplen esa función. Por esta razón, no son necesariamente equivalentes topológicos de la esfera como lo son los sólidos platónicos, y en particular la característica de Euler VE + F = 2 se verifica solamente para el Gran dodecaedro estrellado y para el Gran icosaedro.

Esto dependerá de cómo se observe el poliedro. Considérese, por ejemplo, el pequeño dodecaedro estrellado.[1] Consiste en un dodecaedro con una pirámide pentagonal en cada una de sus 12 caras. En consecuencia, las 12 caras se extienden a pentagramas con el pentágono central dentro del sólido. La parte externa de cada cara consiste en cinco triángulos conectados por sólo cinco puntos. Si se cuentan separadamente, hay 60 caras (pero estas son triángulos isósceles que no son polígonos regulares, en cuyo caso seria un pentaquisdodecaedro). De modo similar, cada lado puede ser contado como tres, pero entonces los habrá de dos tipos. Igualmente, con los "cinco puntos" antes mencionados: en total habrá 20 puntos que pueden contarse como vértices, por lo que habrá un total de 32 vértices (otra vez, de dos tipos). Ahora la ecuación de Euler se verifica: 60 - 90 + 32 = 2.

Historia[editar]

Los sólidos de Kepler fueron definidos por Johannes Kepler en 1619, cuando notó que los dodecaedros estrellados (tanto el grande como el pequeño) se componían de dodecaedros "ocultos" (con caras pentagonales) que tienen caras compuestas de triángulos, tomando la apariencia de estrellas estilizadas. En realidad, Wenzel Jamnitzer halló el gran dodecaedro estrellado en el siglo XVI, y Paolo Uccello descubrió y dibujó el pequeño dodecaedro estrellado en el siglo XV. La contribución de Kepler fue reconocer que cumplían con la definición de sólidos regulares, aunque fueran cóncavos en lugar de convexos como los tradicionales sólidos platónicos. Los otros dos, el gran icosaedro y el gran dodecaedro, fueron descritos por Louis Poinsot en 1809, razón por la que en alguna literatura aparecen como Sólidos de Poinsot.

Tipos[editar]

Hay cuatro sólidos de Kepler distintos:

Sólidos de Kepler-Poinsot
Nombre Imagen Caras Aristas Vértices Simetría
K1 Pequeño dodecaedro estrellado SmallStellatedDodecahedron.gif
Animación
12 12 × pg 30 12 12 × 5/25 Ih
K2 Gran dodecaedro estrellado GreatStellatedDodecahedron.gif
Animación
12 12 × pg 30 20 20 × 5/23 Ih
K3 Gran icosaedro GreatIcosahedron.gif
Animación
20 20 × te 30 12 12 × 35/2 Ih
K4 Gran dodecaedro GreatDodecahedron.gif
Animación
12 12 × pr 30 12 12 × 55/2 Ih
pg = pentagramas; pr = pentágonos regulares
te = triángulos equiláteros

Los dos primeros son estrellamientos, es decir, sus caras son convexas. Los otros dos tienen caras cóncavas, pero cada par de caras que se encuentra en un vértice de hecho lo hace en dos.

Referencias[editar]

Sólido Poliedro uniforme K1' de Kepler-Poinsot con altura de las pirámides pentagonales negativa con magnitud inferior al radio de la esfera inscrita, 12 caras cóncavas pentagonales, 60 triángulos isósceles.

Enlaces externos[editar]