Gran icosidodecaedro romo invertido
Gran icosidodecaedro romo invertido | ||
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Modelo 3D | ||
Tipo | poliedro uniforme, poliedro no convexo y poliedro romo | |
Forma de las caras |
triángulo equilátero (80) pentagrama (12) | |
Dual | gran hexecontaedro pentagonal invertido | |
Elementos | ||
Vértices | 60 | |
Aristas | 150 | |
Caras | 92 | |
En geometría, el gran icosidodecaedro romo invertido (o gran icosidodecaedro vertirromo) es un poliedro uniforme estrellado, indexado como U69. Su símbolo de Schläfli es sr{5⁄3,3} y le corresponde el diagrama de Coxeter-Dynkin . En el libro Polyhedron Models de Magnus Wenninger, el poliedro recibe equivocadamente el nombre de gran icosidodecaedro romo, y a su vez este último recibe incorrectamente el nombre de gran icosidodecaedro romo invertido.[1]
Coordenadas cartesianas
[editar]Las coordenadas cartesianas de los vértices de un gran icosidodecaedro romo invertido son todas las permutaciones pares (con un número par de signos más) de:
- (+2α, +2, +2β),
- (+(α−βτ−1/τ), +plusmn;(α/τ+β−τ), ±(−ατ−β/τ− 1)),
- (+(ατ−β/τ+1), ±(−α−βτ+1/τ), ±(−α/τ+β+ τ)),
- (+(ατ−β/τ−1), ±(α+βτ+1/τ), ±(−α/τ+β−&tau ;)) y
- (+(α−βτ+1/τ), ±(−α/τ−β−τ), ±(−ατ−β/τ +1)),
donde
- &alfa; = ξ−1/ξ
y
- β = −ξ/τ+1/τ2−1/(ξτ),
donde τ = (1+√5)/2 es el número áureo y ξ es la solución real positiva mayor de ξ3−2ξ=−1/τ, o aproximadamente 1,2224727. Tomando las permutaciones impares (con un número impar de signos más) de las coordenadas anteriores, se obtiene una forma enantiomorfa de la anterior.
El circunradio para la arista de longitud unidad es:
donde es la raíz propia de . Las cuatro raíces reales positivas de la ecuación de sexto grado en
son los circunradios del dodecaedro romo (U29), del gran icosidodecaedro romo (U57), del gran icosidodecaedro romo invertido (U69) y del gran icosidodecaedro retrorromo (U74).
Poliedros relacionados
[editar]Gran hexecontaedro pentagonal invertido
[editar]Gran hexecontaedro pentagonal invertido | ||
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Imagen del sólido | ||
Tipo | Poliedro estrellado | |
Caras | 60 | |
Aristas | 150 | |
Vértices | 92 | |
Grupo de simetría | I, [5,3]+, 532 | |
Poliedro dual | Gran icosidodecaedro romo invertido | |
El gran hexecontaedro pentagonal invertido (o trisicosaedro petaloidal) es un poliedro no convexo isoedral. Está compuesto por 60 caras pentagonales cóncavas, 150 aristas y 92 vértices.
Es el dual del gran icosidodecaedro romo invertido, un poliedro uniforme estrellado.
Proporciones
[editar]Sean el número áureo y el cero positivo más pequeño del polinomio . Entonces, cada cara pentagonal tiene cuatro ángulos iguales de y un ángulo de . Cada cara tiene tres aristas largas y dos cortas. La relación entre las longitudes de los bordes largo y corto está dada por:
- .
Su ángulo diedro es igual a . Parte de cada una de las caras se encuentra dentro de la figura, por lo que no son totalmente visibles en los modelos sólidos. Los otros dos ceros del polinomio juegan un papel similar en la descripción del gran icosidodecaedro romo y del gran hexecontaedro pentagrámico.
Véase también
[editar]Referencias
[editar]- ↑ Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 730208. pág.126
Enlaces externos
[editar]- Weisstein, Eric W. «Great inverted pentagonal hexecontahedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric W. «Great inverted snub icosidodecahedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.