Poliedro dual

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El octaedro y el cubo son poliedros duales.

Poliedro dual o conjugado, en geometría, es el poliedro cuyos vértices se corresponden con el centro de las caras del otro poliedro dado. El poliedro dual del dual es similar al original. El dual de un poliedro con vértices equivalentes es uno con caras equivalentes, y el de uno con aristas equivalentes es otro con aristas equivalentes. Poliedros regulares como los sólidos platónicos y los sólidos de Kepler-Poinsot, están asociados a poliedros duales.

La dualidad se define usualmente en términos de reciprocidad polar en una esfera concéntrica. Así, cada vértice está asociado con un plano de una cara de modo tal que el radio del centro al vértice es perpendicular al plano, y el producto de las distancias del centro a cada uno es igual al cuadrado del radio. En coordenadas, para la reciprocidad en la esfera

x2 + y2 + z2 = r2,

el vértice

(x0, y0, z0)

está asociado con el plano

x0x + y0y + z0z = r2.

Por tanto, los vértices del dual son los recíprocos de los planos de la cara del original, y las caras del dual yacen en las recíprocas de los vértices del original. Además, cualesquiera dos vértices adyacentes definen una arista, y estas tendrán reciprocidad con dos caras adyacentes que se intersecan para definir una arista del dual. Es posible generalizar a espacio n-dimensional, por lo que se puede hablar de politopos duales. Entonces, los vértices de un politopo se corresponden con los elementos (n-1)-dimensionales, o facetas, del otro, y los j puntos que definen un elemento (j-1)-dimensional se corresponden con los j hiperplanos que se intersecan para dar un elemento (n-1)-dimensional. Cuando el dual de una figura es la figura misma (como en el caso del tetraedro o del icositetracoron) se dice que esta es auto-dual. El dual del tipo panal de abejas puede definirse de modo similar.

La forma exacta del dual dependerá de la esfera respecto de la cual se establezca la reciprocidad, pues la esfera creará distorsiones cuando se mueva alrededor del dual. El centro de la esfera es suficiente para definir el dual hasta la similaridad. Si están presentes múltiples ejes de simetría, estos se intersecarán necesariamente en un único punto, el que usualmente se toma como centro. Si esto falla. pueden usarse una esfera circunscrita, una esfera inscrita, o una esfera media (una con todas las aristas como tangentes. Puede demostrarse que todos los poliedros convexos pueden distorsionarse a una forma canónica donde existe una esfera media tal que los puntos donde las aristas la tocan promedian el centro del círculo, y esta forma es única excepto por las congruencias.

Se puede distorsionar un poliedro dual de modo tal que no se posible ya obtenerlo por reciprocidad del original en ninguna esfera. En este caso se dice que los dos poliedros son aún topológicamente duales.

Cabe notar que los vértices y las aristas de un poliedro convexo pueden proyectarse para formar un grafo sobre la esfera o sobre un plano, y el correspondiente grafo formado por el dual de este poliedro es su grafo dual.

El concepto de dualidad que se emplea aquí también está relacionado con la dualidad en geometría proyectiva, donde las líneas y las aristas se intercambian; y de hecho es una versión particular de la misma.

Si un poliedro tiene un elemento que pasa a través del centro de una esfera, el elemento correspondiente de su dual pasará a través de él o estará en el infinito. Dado que el espacio euclidiano infinito tradicional no alcanza nunca el infinito, el equivalente proyectivo, llamado espacio euclidiano extendido, debe formarse agregando el plano requerido en el infinito.

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