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Una ecuación algebraica de tercer grado o ecuación cúbica con una incógnita es aquella de grado tres^[1] que se puede poner bajo la forma canónica:

Ecuación de tercer grado

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\;,\quad a\neq 0$

Donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un cuerpo, el cuerpo de los números reales o el de los números complejos, aunque con frecuencia son números racionales.^[2]^[3]

Historia

Las ecuaciones cúbicas eran conocidas por los antiguos babilonios, griegos, chinos, indios y egipcios.^[4]^[5]^[6] Se han encontrado tabletas cuneiformes con tablas para calcular cubos y raíces cúbicas, datadas en el imperio babilónico (siglos XX a XVI a. C.).^[7]^[8] Los babilonios podrían haber usado las tablas para resolver ecuaciones cúbicas, pero no existe evidencia para confirmar que lo hicieran realmente.^[9] El problema de la duplicación del cubo involucra la ecuación cúbica más simple y más antigua estudiada, para la que los antiguos egipcios no creían que existiera una solución.^[10] En el siglo V aC, Hipócrates redujo este problema al de encontrar dos medias proporcionales entre una segmento y otro de dos veces su longitud, pero no lo pudo resolver solo con regla y compás,^[11] una tarea que ahora se sabe que es imposible.

Métodos para resolver ecuaciones cúbicas aparecen en el Jiuzhang Suanshu, un texto matemático chino compilado alrededor del siglo II a. C., comentado por Liu Hui en el siglo III.^[5] En el siglo III, el matemático griego Diofanto de Alejandría encontró soluciones enteras o racionales para algunas ecuaciones de tercer grado y dos variables (ecuaciones diofánticas cúbicas).^[6]^[12] Hipócrates de Quíos, Menecmo y Arquímedes se acercaron a resolver el problema de duplicar el cubo usando intersección de curvas cónicas,^[11] aunque historiadores como Reviel Netz discuten si los griegos abordaron las ecuaciones cúbicas generales, o si solo consideraban problemas concretos. Algunos otros, como T. L. Heath, que tradujo todos los trabajos de Arquímedes, no están de acuerdo y presentan evidencias de que Arquímedes realmente resolvió ecuaciones cúbicas usando intersecciones de dos cónicas, y que también discutió las condiciones en las que las raíces son 0, 1 o 2.^[13]

En el siglo VII, el astrónomo y matemático de la dinastía Tang, Wang Xiaotong, en su tratado matemático titulado Jigu Suanjing, estableció y resolvió numéricamente de forma sistemática 25 ecuaciones cúbicas de la forma $x 3 + px 2 + qx = N$ , 23 de ellas con $p, q \neq 0$ y dos de ellas con $q = 0$ .^[14]

En el siglo XI, el poeta-matemático persa, Omar Jayam (1048-1131), realizó un progreso significativo en la teoría de las ecuaciones cúbicas. En un texto antiguo, descubrió que una ecuación cúbica puede tener más de una solución y declaró que no se puede resolver utilizando solo la regla y el compás. También encontró una solución geométrica.^[15]^[16] En su trabajo posterior, el "Tratado sobre la demostración de problemas de álgebra", escribió una clasificación completa de ecuaciones cúbicas con soluciones geométricas generales encontradas mediante la intersección de secciones cónicas.^[17]^[18]

En el siglo XII, el matemático indio Bhaskara II intentó hallar la solución general de ecuaciones cúbicas sin éxito. Sin embargo, dio un ejemplo de una ecuación cúbica: $x 3 + 12 x = 6 x 2 + 35$ .^[19] En el siglo XII, otro matemático persa, Sharaf al-Din al-Tusi (1135–1213), escribió el Al-Muʿādalāt (Tratado sobre ecuaciones), en el que describió ocho tipos de ecuaciones cúbicas con soluciones positivas y cinco tipos de ecuaciones cúbicas que pueden no tener soluciones positivas. Utilizó lo que luego se conocería como el "método de Ruffini-Horner" para aproximar numéricamente las raíces de una ecuación cúbica. También utilizó los conceptos de extremos de una función para resolver ecuaciones cúbicas que pueden no tener soluciones positivas,^[20] y entendió la importancia del discriminante de la ecuación cúbica para encontrar soluciones algebraicas para ciertos tipos de ecuaciones cúbicas.^[21]

En su libro "Flos", Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci (1170–1250), pudo aproximar la solución positiva de la ecuación cúbica $x 3 + 2 x 2 + 10 x = 20$ . Escribiendo en numeración sexagesimal dio el resultado como 1,22,7,42,33,4,40 (equivalente a 1 + 22/60 + 7/60² + 42/60³ + 33/60⁴ + 4/60⁵ + 40/60⁶), que tiene un error de aproximación del orden de 10⁻⁹.^[22]

A principios del siglo XVI, el matemático italiano Scipione del Ferro (1465-1526) encontró un método para resolver una clase de ecuaciones cúbicas, a saber, las de la forma $x 3 + mx = n$ . De hecho, todas las ecuaciones cúbicas se pueden reducir a esta forma si se permite que $m$ y $n$ sean negativas, pero por entonces se desconocían los números negativos. Del Ferro mantuvo su logro en secreto hasta justo antes de su muerte, cuando se lo reveló a su estudiante Antonio Fiore.

En 1530, Niccolò Fontana Tartaglia (1500-1557) recibió dos problemas en ecuaciones cúbicas remitidos por Zuanne da Coi y anunció que podía resolverlos. Pronto fue desafiado por Antonio Fiore, lo que llevó a un famoso concurso entre los dos. Cada concursante tenía que aportar una cierta cantidad de dinero y proponer una serie de problemas para que su rival los resolviera. Quien resolviera más problemas en 30 días obtendría todo el dinero. Tartaglia recibió preguntas en la forma $x 3 + mx = n$ , ecuaciones para las que había elaborado un método general. Fiore recibió preguntas en la forma $x 3 + mx 2 = n$ , que resultaron ser demasiado difíciles de resolver para él, y Tartaglia ganó el concurso.

Posteriormente, Tartaglia fue persuadido por Gerolamo Cardano (1501–1576) para que le revelara su método secreto de resolver ecuaciones cúbicas. En 1539, Tartaglia lo hizo solo con la condición de que Cardano nunca lo revelara y de que si escribía un libro sobre cúbicas, le daría tiempo a Tartaglia para publicar su descubrimiento. Algunos años después, Cardano se enteró de la existencia del trabajo anterior de Scipione del Ferro, y publicó el método de este último en su libro Ars Magna en 1545, lo que significaba que Cardano le concediera a Tartaglia seis años para publicar sus resultados (con crédito otorgado a Tartaglia por una solución independiente). La promesa de Cardano a Tartaglia decía que no publicaría el trabajo de Tartaglia, pero Cardano defendió que estaba publicando el procedimiento de Del Ferro, justificando así evitar cumplir su promesa. Sin embargo, Tartaglia retó a Cardano a un concurso matemático, a lo que este se negó. El desafío fue finalmente aceptado por el estudiante de Cardano Lodovico Ferrari (1522-1565). Ferrari lo hizo mejor que Tartaglia en la competición, y Tartaglia perdió tanto su prestigio como sus ingresos.^[23]

Cardano notó que el método de Tartaglia a veces requería que extrajera la raíz cuadrada de un número negativo. Incluso incluyó un cálculo con estos números complejos en su Ars Magna, pero realmente no lo entendió. Rafael Bombelli estudió este tema en detalle^[24] y por lo tanto, a menudo se le considera el descubridor de los números complejos.

François Viète (1540–1603) obtuvo de forma independiente la solución trigonométrica para la ecuación cúbica con tres raíces reales, y René Descartes (1596–1650) amplió el trabajo de Viète.^[25]

Función cúbica

La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Se escribe de la siguiente manera:

f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,

donde los coeficientes son números racionales y siempre a es distinto de 0.^[26]

Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones tienen como elementos a los números reales.

La derivada de una función cúbica es una función cuadrática y su integral, una función cuártica.

Ecuación cúbica

La ecuación cúbica es la ecuación que resulta de igualar a cero la función cúbica, y tiene la forma canónica:

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\qquad (1)

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un anillo (enteros) o campo, usualmente el campo de los números reales o el de los números complejos.Las soluciones están generalmente en un cuerpo que incluye al anillo de los coeficientes. ^[27]

Discriminante

Resulta importante y a la vez esencial obtener propiedades elementales de los polinomios como herramientas de análisis en los resultados según los valores de sus coeficientes. Cualquier ecuación cúbica (1) con coeficientes reales tiene al menos una solución x sobre los números reales; esta es una consecuencia del teorema del valor intermedio. Se pueden distinguir varios posibles casos, usando para ello el discriminante,

\Delta =18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}.\,

Los siguientes casos necesitan ser considerados: ^[28]

Si $\Delta >0$ , entonces la ecuación tiene tres raíces reales distintas.
Si $\Delta =0$ , entonces la ecuación tiene raíces múltiples y todas sus raíces son reales (puede ser una raíz triple o una doble y otra simple).
Si $\Delta <0$ , entonces la ecuación tiene una raíz real y dos raíces complejas -no reales- conjugadas.

El caso real

Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentaron resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentran en $\mathbb {C}$ , extensión algebraica cerrada de $\mathbb {R}$ . La distinción aparece cuando se calcula el discriminante de la ecuación. Se puede notar que siempre hay por lo menos una solución real, independientemente de que el discriminante $\Delta$ sea mayor, menor o igual a cero. Es debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en $+\infty$ y $-\infty$ y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. Como son funciones continuas, tienen que pasar por cero, por el teorema de los valores intermedios.

Dado que se sabe que al menos habrá una solución real, también es posible resolverla aproximadamente con métodos numéricos, como por ejemplo el método de Newton-Raphson.

Factorización

Si los coeficientes de una ecuación cúbica son números racionales, se puede obtener una ecuación equivalente con coeficientes enteros, multiplicando todos los coeficientes por un mínimo común múltiplo de sus denominadores. Tal ecuación

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,

con coeficientes enteros, se dice que es reducible si el polinomio del lado izquierdo es el producto de polinomios de grados inferiores. Por el lema de Gauss, si la ecuación es reducible, se puede suponer que los factores tienen coeficientes enteros.

Encontrar las raíces de una ecuación cúbica reducible es más fácil que resolver el caso general. De hecho, si la ecuación es reducible, uno de los factores debe tener el grado uno y, por lo tanto, tener la forma

qx-p

con $q$ y $p$ siendo números coprimos. El teorema de la raíz racional permite encontrar $q$ y $p$ examinando un número finito de casos (porque $q$ debe ser un divisor de $a$ y $p$ debe ser un divisor de $d$ ).

Por lo tanto, una raíz es $\textstyle x_{1}={\frac {p}{q}},$ y las otras raíces son las raíces del otro factor, que pueden encontrarse por división polinomial. Este otro factor es

{\frac {a}{q}}x^{2}+{\frac {bq+ap}{q^{2}}}x+{\frac {cq^{2}+bpq+ap^{2}}{q^{3}}}

(Los coeficientes parecen no ser enteros, pero deben ser enteros si $p / q$ es una raíz del polinomio).

Entonces, las otras raíces son las raíces de esta ecuación cuadrática y se pueden encontrar usando la fórmula cuadrática.

Forma reducida

Los polinomios de la forma

t^{3}+pt+q

se dice que están reducidos. Son mucho más simples que las ecuaciones cúbicas generales, pero son fundamentales, porque el estudio de cualquier cúbica puede reducirse por un simple cambio de variable al de una cúbica reducida.

Sea

ax 3 + bx 2 + cx + d = 0

una ecuación cúbica. El cambio de variable

x=t-{\frac {b}{3a}}

da como resultado una cúbica que no tiene término en $t 2$ . Después de dividir por $a$ se obtiene la ecuación cúbica reducida

t^{3}+pt+q=0,

con

{\begin{aligned}t=&x+{\frac {b}{3a}}\\p=&{\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}\\q=&{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.\end{aligned}}

Las raíces $x_{1},x_{2},x_{3}$ de la ecuación original están relacionadas con las raíces $t_{1},t_{2},t_{3}$ de la ecuación reducida por las relaciones

x_{i}=t_{i}-{\frac {b}{3a}},

para $i = 1, 2, 3$

Raíces reales de la ecuación cúbica

Partiendo de la ecuación canónica

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0

dividiendo entre a y haciendo una transformación de Tschirnhaus (sustituyendo $x=z-{\tfrac {b}{3a}}$ ) se elimina de la forma normal el término cuadrático, y como ya se ha señalado, se obtiene la forma reducida:

z^{3}+pz+q=0,

con lo cual,

{\begin{aligned}p=&{\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}\\q=&{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.\end{aligned}}

Se demuestra que el número de raíces reales depende del discriminante de la ecuación auxiliar $\Delta =(-4p^{3}-27q^{2})\,$ .^[29] La ecuación cúbica incompleta $z^{3}+pz+q=0\,$ posee tres raíces reales cuando el discriminante $\Delta >0\,$ , pero donde $p<0\,$ y $q\,$ posee cualquier valor y signo. Tales raíces se calculan como

z_{k+1}=\pm 2{\sqrt {\frac {-p}{3}}}\cos \left({\frac {\Phi }{3}}+120k\right)

, para

k=0,1,2\,

donde el signo positivo se usa si $q\leq 0\,$ y el signo negativo se usa si $q>0\,$ . Mientras que $\Phi \,$ está dada por

\Phi =\arccos {\sqrt {\frac {q^{2}/4}{-p^{3}/27}}}

De modo que si se quieren calcular las tres raíces de la ecuación cúbica completa $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,$ , entonces se puede obtenerlas fácilmente como

x_{k}=z_{k}-{\frac {b}{3a}}

, para

k=1,2,3\,

Raíces múltiples

En cualquier ecuación cúbica es posible que se presenten raíces múltiples, es decir, raíces de multiplicidad dos y tres, esto es, que dos o tres de las raíces sean iguales entre sí. Las raíces de multiplicidad unitaria ya fueron descritas antes, ahora la raíz doble se puede presentar si y sólo si se cumple la condición de que

\Delta =0,p\not =0,q\not =0\,

y las raíces de la ecuación cúbica incompleta serán

z_{1}=2u=2v=-2z_{2}=-2z_{3}\,

mientras que las raíces triples se presentan cuando se cumpla la condición de que

\Delta =p=q=0\,

con lo que las raíces de la ecuación cúbica completa se calcularán fácilmente como

x_{1}=x_{2}=x_{3}={\frac {-b}{3a}}\,

.

El caso general

Sea $K\,$ un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces, propiedad que hará posible resolver la ecuación.

En un cuerpo algebraicamente cerrado se sabe que todo polinomio de tercer grado (o ecuación cúbica) tiene tres raíces. Este es el caso, por ejemplo, del cuerpo de los números complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.

La solución de la ecuación algebraica cúbica fue dada por primera vez en el libro Ars Magna (del latín, que significa 'Gran Arte' o 'Arte Magno') por el matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576) que publicó en el año de 1545, razón por la cual se le llama método de Cardano.

Fórmula general

Artículo principal: Método de Cardano

Dada la ecuación cúbica

$x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0$

Se calculan las siguientes cantidades:

${\begin{matrix}Q={\cfrac {3a_{2}-a_{1}^{2}}{9}},&R={\cfrac {9a_{1}a_{2}-27a_{3}-2a_{1}^{3}}{54}}\\\\S_{1}={\sqrt[{3}]{R+{\sqrt {Q^{3}+R^{2}}}}},&S_{2}={\sqrt[{3}]{R-{\sqrt {Q^{3}+R^{2}}}}}\end{matrix}}$

En ese caso las tres raíces se pueden escribir simplemente como:

(*) ${\begin{cases}x_{1}=S_{1}+S_{2}-{\cfrac {a_{1}}{3}}\\x_{2}=-{\cfrac {S_{1}+S_{2}}{2}}-{\cfrac {a_{1}}{3}}+{\cfrac {i{\sqrt {3}}}{2}}(S_{1}-S_{2})\\x_{3}=-{\cfrac {S_{1}+S_{2}}{2}}-{\cfrac {a_{1}}{3}}-{\cfrac {i{\sqrt {3}}}{2}}(S_{1}-S_{2})\end{cases}}$

Al ser el discriminante $D=Q^{3}+R^{2}$ se tiene:

i) una de las raíces es real y dos de ellas son complejas si D > 0.

ii) todas las raíces son reales y al menos dos son iguales si D = 0.

iii) todas las raíces son reales y distintas si D < 0.

En este último caso el cálculo de las raíces se simplifica un poco si se reescriben las soluciones (*) mediante fórmulas trigonométricas:

${\begin{cases}x_{1}=-2{\sqrt {-Q}}\cos \left({\frac {\theta }{3}}\right)-{\cfrac {a_{1}}{3}}\\x_{2}=-2{\sqrt {-Q}}\cos \left({\frac {\theta +2\pi }{3}}\right)-{\cfrac {a_{1}}{3}}\\x_{3}=-2{\sqrt {-Q}}\cos \left({\frac {\theta +4\pi }{3}}\right)-{\cfrac {a_{1}}{3}}\end{cases}}$

donde:^[30]

\cos \theta =-{\frac {R}{\sqrt {-Q^{3}}}}

Ejemplos

Ejemplo 1

Sea la ecuación cúbica $2t^{3}+6t^{2}+12t+10=0\,$ , Se procederá a resolverla, para ello, se siguen los siguientes pasos.

$t^{3}+3t^{2}+6t+5=0\,$ (al dividir por 2)
Con x = t + 1, es decir t = x - 1, reemplazando:

(x-1)^{3}+3(x-1)^{2}+6(x-1)+5=0\,

, y desarrollando, se obtiene la ecuación en forma reducida

x^{3}+3x+1=0\,

.

x = u + v, U = u³, V = v³ y se impone U + V = - 1 y UV = - 1. U y V son las raíces de X² + X - 1 = 0.
Se despeja U, V y t.

U={\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}\,

y

V={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\,

, luego

u={\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}}\,

y

v={\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}\,

.

Por lo tanto

t=x-1=u+v-1={\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}-1\approx -1,3221853546

Ejemplo 2

Este ejemplo es histórico porque fue el que tomó Rafael Bombelli quien fue, con Cardano, el primero en resolver ecuaciones del tercer y cuarto grado por el método ya expuesto (en la Italia del renacimiento, en pleno siglo XVI).

La ecuación dada es x³ - 15x - 4 = 0.

Estudiando la función x → x³ - 15x - 4 o calculando el discriminante Δ = 13068 > 0, se puede comprobar que esta ecuación tiene tres raíces reales. Por lo tanto debería ser más fácil que en el primer ejemplo encontrar una.

Puesto que está en forma reducida se sustituye x = u + v, U = u³, V = v³.

U + V = 4 y UV = 125.

U y V son las raíces de X² - 4X + 125 = 0, ecuación de segundo grado cuyo discriminante es negativo. Por lo tanto no tiene raíces reales. Este método nos permite encontrar las raíces, todas reales, pasando obligatoriamente por los números complejos.

Esta constatación fue un argumento a favor de los complejos: son herramientas imprescindibles para resolver ecuaciones, aunque sólo tengan soluciones reales.

Hallamos U = 2 - 11·i y V = 2 + 11·i. Extraer raíces cúbicas en los complejos no es lo mismo que en los reales. Hay dos métodos: uno geométrico, que utiliza el argumento y el módulo (se divide el argumento por tres, y se toma la raíz cúbica del módulo), y otro algebraico, que emplea las partes real e imaginaria:

Escríbase u = a + bi. Entonces u³ = 2 - 11i equivale al sistema:

a³ - 3ab² = 2 (parte real)

3a²b - b³ = - 11 (parte imaginaria)

a² + b² = 5 (módulo)

Se obtiene a = 2 y b = -1, o sea u = 2 - i, y v es su conjugado: v = 2 + i.

En conclusión, x₀ = u + v = (2 - i) + (2 + i) = 4, lo que se verifica de inmediato.

Las otras raíces son:

x₁ = ω(2 - i) + ω(2 + i) = - 2 + √3

y

x₂ = ω²(2 - i) + ω²(2 + i) = - 2 - √3,

donde ω es igual a -1/2 + √3/2i y ω es igual a -1/2 - √3/2i.

Cuando Δ es negativo, U y V son conjugados, y por lo tanto también lo son u y v (con tal de bien escoger la raíz cúbica, recordando que uv = -p/3); así estamos seguros de obtener un x real, y de hecho también x₁ y x₂.

Nota: Toda ecuación cúbica completa tiene otra equivalente incompleta o completa condicionada (familia de cúbicas), que se puede observar mediante el cambio de variable x=z+k. Con esto podemos encontrar otra fórmula general para las ecuaciones cúbicas, diferente a las fórmulas de Cardano o Tartaglia.

Soluciones trigonométricas e hiperbólicas

Solución trigonométrica para tres raíces reales

Cuando una ecuación cúbica con coeficientes reales tiene tres raíces reales, las fórmulas que expresan estas raíces en términos de radicales involucran números complejos. La teoría de Galois permite probar que cuando las tres raíces son reales y ninguna es racional (casus irreducibilis), no se pueden expresar las raíces en términos de radicales reales. Sin embargo, se pueden obtener expresiones puramente reales de las soluciones usando funciones trigonométricas, específicamente en términos de cosenos y arcocosenos.^[31] Más precisamente, la raíz de la ecuación cúbica reducida

t^{3}+pt+q

es^[32]

t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-{\frac {2\pi k}{3}}\right)\quad {\text{para}}\quad k=0,1,2.

Esta fórmula se debe al matemático francés François Viète.^[25] La raíz es puramente real cuando la ecuación tiene tres raíces reales (es decir, $4p^{3}+27q^{2}<0$ ). De lo contrario, sigue siendo correcto, pero la resolución involucra utilizar cosenos y arcosenos complejos cuando solo hay una raíz real, y no tiene sentido (división por cero) cuando $p = 0)$ .

La expresión se puede transformar directamente en una fórmula para las raíces de una ecuación cúbica general, utilizando la sustitución inversa descrita en cúbica reducida. Se puede probar de la siguiente manera:

A partir de la ecuación $t 3 + pt + q = 0$ , se establece $t = u cos θ$ . La idea es elegir $u$ para que la ecuación coincida con la identidad

4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta -\cos(3\theta )=0\,.

Para esto, elíjase $u=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}},$ y divídase la ecuación por ${\frac {u^{3}}{4}}.$ Esto da

4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta -{\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}=0\,.

Combinando con la identidad anterior, se obtiene

\cos(3\theta )={\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}},

y las raíces toman la forma

t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-{\frac {2\pi k}{3}}\right)\quad {\text{para}}\quad k=0,1,2\,.

Solución hiperbólica para una raíz real

Cuando solo hay una raíz real (y $p \neq 0$ ), esta raíz se puede representar de manera similar usando una función hiperbólica, como^[33]^[34]

{\begin{aligned}t_{0}&=-2{\frac {|q|}{q}}{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cosh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {-3|q|}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)\right)\quad {\text{si }}\quad 4p^{3}+27q^{2}>0{\text{ y }}p<0\,,\\t_{0}&=-2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\sinh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {3}{p}}}\right)\right)\quad {\text{si }}\quad p>0\,.\end{aligned}}

Si $p \neq 0$ y las desigualdades de la derecha no se satisfacen (el caso de tres raíces reales), las fórmulas siguen siendo válidas pero implican cantidades complejas.

Cuando $p = \pm3$ , los valores anteriores de $t 0$ a veces se denominan "raíces cúbicas de Chebyshev". ^[35] Más precisamente, los valores que involucran cosenos y cosenos hiperbólicos definen, cuando $p = -3$ , la misma función analítica denota $C 1/3 (q)$ , que es la raíz cúbica de Chebyshev propia. El valor que involucra senos hiperbólicos se denota de manera similar a $S 1/3 (q)$ , cuando $p = 3$ .

Soluciones geométricas

Solución de Omar Khayyám

Para resolver la ecuación cúbica $x 3 + m 2 x = n$ donde $n > 0$ , Omar Jayam construyó la parábola $y = x 2 / m$ , el círculo que tiene como diámetro el segmento $[0, n / m 2]$ en el eje $x$ positivo, y una línea vertical a través del punto donde el círculo y la parábola se cruzan por encima del eje $x$ . La solución viene dada por la longitud del segmento de línea horizontal desde el origen hasta la intersección de la línea vertical y el eje $x$ (véase la figura).

Una prueba moderna simple es la siguiente: multiplicar la ecuación por $x$ y reagrupar los términos, resulta

{\frac {x^{4}}{m^{2}}}=x\left({\frac {n}{m^{2}}}-x\right).

El lado izquierdo es el valor de $y 2$ en la parábola. La ecuación del círculo es $y 2 + x (x - n / m 2) = 0$ , el lado derecho es el valor de $y 2$ en el círculo.

Solución con el ángulo trisector

Una ecuación cúbica con coeficientes reales se puede resolver geométricamente usando regla y compás, y un ángulo trisector si y solo si tiene tres raíces reales.^[36]^{: Thm. 1}

Una ecuación cúbica se puede resolver mediante una construcción con regla y compás (sin trisector) si y solo si tiene una raíz racional. Esto implica que los viejos problemas de la trisección del ángulo y de la duplicación del cubo, establecidos por los antiguos matemáticos griegos, no pueden resolverse mediante construcciones exclusivamente con regla y compás.

Interpretación geométrica de las raíces

Tres raíces reales

La expresión trigonométrica de Viète de las raíces en el caso de las tres raíces reales se presta a una interpretación geométrica en términos de un círculo.^[25]^[37] Cuando el polinomio de tercer grado se escribe de forma reducida (2), $t 3 + pt + q = 0$ , como se muestra arriba, la solución se puede expresar como

t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-k{\frac {2\pi }{3}}\right)\quad {\text{para}}\quad k=0,1,2\,.

Aquí $\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)$ es un ángulo en el círculo de radio uno; tomando $1 / 3$ de ese ángulo se determina una raíz cúbica de un número complejo; agregando $- k 2Π / 3$ para $k = 1, 2$ se localizan las otras raíces cúbicas; y multiplicando los cosenos de estos ángulos resultantes por $2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}$ se corrige la escala.

Para el caso no reducido (1) (que se muestra en el gráfico adjunto), el caso reducido como se indicó anteriormente se obtiene definiendo $t$ de modo que $x = t - b / 3 a$ y $t = x + b / 3 a$ . Gráficamente esto corresponde simplemente a cambiar el gráfico horizontalmente al cambiar entre las variables $t$ y $x$ , sin cambiar las relaciones de los ángulos. Este cambio mueve el punto de inflexión y el centro del círculo al eje $y$ . En consecuencia, las raíces de la ecuación en $t$ suman cero.

Una sola raíz real

En el plano cartesiano

Cuando el gráfico de una función cúbica se traza en coordenadas cartesianas, si solo hay una raíz real, entonces coincide con la abscisa (coordenada $x$ ) de la intersección del eje horizontal con la curva (punto R en la figura). Además,^[38]^[39]^[40] si las raíces conjugadas complejas se escriben como $g \pm hi$ , entonces la parte real $g$ del número complejo anterior es la abscisa del punto de tangencia H de la tangente a la cúbica, que pasa a través de la intersección R del eje $x$ con la cúbica (que es la longitud marcada como RM, negativa en la figura). Las partes imaginarias $\pmh$ son las raíces cuadradas de la tangente del ángulo entre esta línea tangente y el eje horizontal.

En el plano complejo

Con una raíz real y dos raíces complejas, las tres raíces se pueden representar como puntos en el plano complejo, al igual que las dos raíces de la derivada cúbica. Existe una interesante relación geométrica entre todas estas raíces.

Los puntos en el plano complejo que representan las tres raíces sirven como vértices de un triángulo isósceles. El triángulo es isósceles porque una raíz está en el eje horizontal (real) y las otras dos raíces, que son conjugados complejos, aparecen simétricamente arriba y debajo del eje real.

El teorema de Marden afirma que los puntos que representan las raíces de la derivada de la cúbica son los focos de la inelipse de Steiner del triángulo, la única elipse que es tangente al triángulo en los puntos medios de sus lados. Si el ángulo en el vértice en el eje real es menor que $Π / 3$ , entonces el eje principal de la elipse se encuentra en el eje real, al igual que sus focos y, por lo tanto, las raíces de la derivada. Si ese ángulo es mayor que $Π / 3$ , el eje mayor es vertical y sus focos, las raíces de la derivada, son conjugados complejos. Y si ese ángulo es $Π / 3$ , el triángulo es equilátero, la inelipse de Steiner es simplemente el incírculo del triángulo, sus focos coinciden entre sí en el incentro, que se encuentra en el eje real y, por lo tanto, la derivada tiene raíces reales duplicadas.

Grupo de Galois

Dado un polinomio irreducible cúbico sobre un campo $k$ de característica diferente de 2 y 3, el grupo de Galois sobre $k$ es el grupo del automorfismo que fija $k$ de la extensión más pequeña de $k$ (cuerpo de descomposición). Como estos automorfismos deben permutar las raíces de los polinomios, este grupo es el grupo $S 3$ de las seis permutaciones de las tres raíces o el grupo $A 3$ de las tres permutaciones circulares.

El discriminante $Δ$ de la cúbica es el cuadrado de

{\sqrt {\Delta }}=a^{2}(r_{1}-r_{2})(r_{1}-r_{3})(r_{2}-r_{3}),

donde $a$ es el coeficiente principal de la cúbica, y $r 1$ , $r 2$ y $r 3$ son las tres raíces de la cúbica. A medida que ${\sqrt {\Delta }}$ cambia de signo si se intercambian dos raíces, ${\sqrt {\Delta }}$ es fijado por el grupo de Galois solo si el grupo de Galois es $A 3$ . En otras palabras, el grupo de Galois es $A 3$ si y solo si el discriminante es el cuadrado de un elemento de $k$ .

Como la mayoría de los enteros no son cuadrados, cuando se trabaja sobre el campo $Q$ de los números racionales, el grupo de Galois de la mayoría de los polinomios cúbicos irreducibles es el grupo $S 3$ con seis elementos. $A 3$ da un ejemplo de un grupo $p (x) = x 3 - 3 x - 1$ de Galois con tres elementos, cuyo discriminante es $81 = 9 2$ .

Aplicaciones

Las ecuaciones cúbicas surgen en varios otros contextos.

En matemáticas

La trisección del ángulo y la duplicación del cubo son dos problemas antiguos de geometría que no se pueden resolver sólo con regla y compás, porque son equivalentes a resolver una ecuación cúbica.
El teorema de Marden establece que los focos de la inelipse de Steiner de cualquier triángulo se puede encontrar usando la función cúbica cuyas raíces son las coordenadas en el plano complejo de los tres vértices del triángulo. Las raíces de la derivada de esta ecuación cúbica son las coordenadas complejas de estos focos.
El área de un heptágono regular se puede expresar en términos de las raíces de una ecuación cúbica. Además, las proporciones de la diagonal larga respecto al lado, del lado respecto a la diagonal corta y el negativo de la diagonal corta respecto a la diagonal larga satisfacen una ecuación cúbica particular. Por otro lado, la relación del inradio respecto al circunradio de un triángulo heptagonal es una de las soluciones de la ecuación cúbica. Los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos relacionados con $2\pi /7$ satisfacen las ecuaciones cúbicas.
Dado el coseno (u otra función trigonométrica) de un ángulo arbitrario, el coseno del tercio del ángulo es una de las raíces de una ecuación cúbica.
La solución de la ecuación de cuarto grado general se basa en la solución de su resolvente cúbico.
Los valores propios de una matriz de 3×3 son las raíces de un polinomio cúbico que es el polinomio característico de la matriz.
La ecuación característica de una ecuación diferencial lineal de tercer orden con coeficientes constantes o relación de recurrencia es una ecuación cúbica.
Los puntos de intersección de una curva de Bézier cúbica y de una línea recta se pueden calcular utilizando la ecuación cúbica directa que representa la curva de Bézier.

En otras ciencias

En química analítica, la ecuación de Charlot, que se puede usar para encontrar el pH de un tampón químico, se puede resolver usando una ecuación cúbica.
En ingeniería química y termodinámica, las ecuaciones de estado (que relacionan la presión, el volumen y la temperatura de una sustancia) utilizan ecuaciones cúbicas.
Las ecuaciones cinemáticas que implican sobreaceleración son cúbicas.
La velocidad de las ondas sísmicas de Rayleigh es una solución de la ecuación cúbica de la onda de Rayleigh.

Véase también

Referencias

↑ Kurosch, Curso de Álbebra Superior
↑ Leithold, Álgebra Superior.
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↑ J. J. O'Connor and E. F. Robertson (1999), Omar Khayyam, MacTutor History of Mathematics archive, states, "Khayyam himself seems to have been the first to conceive a general theory of cubic equations."
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Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Ecuación de tercer grado.
Wikilibros alberga un libro o manual sobre Ecuaciones de tercer grado.
Fórmulas de las soluciones de la ecuación ax³+bx²+cx+d=0 en wolframalpha
Cálculo de soluciones de ecuación cúbica ax³+bx²+cx+d=0

Datos: Q203565
Multimedia: Category:Cubic polynomials / Q203565

[1] Kurosch, Curso de Álbebra Superior

[2] Leithold, Álgebra Superior.

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[co-9] Cooke, Roger (2008). Classical Algebra: Its Nature, Origins, and Uses. John Wiley & Sons. p. 64. ISBN 978-0-470-27797-3.

[10] Guilbeau (1930, p. 8) indica que "los egipcios consideraron la solución imposible, pero los griegos llegaron muy cerca de una solución."

[Guilbeau-11] Guilbeau (1930, pp. 8–9)

[12] Heath, Thomas L. (April 30, 2009). Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra. Martino Pub. pp. 87-91. ISBN 978-1578987542.

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[15] A paper of Omar Khayyam, Scripta Math. 26 (1963), pages 323–337

[16] In O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Omar Khayyam» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Khayyam/ . se dice: Este problema a su vez llevó a Khayyam a resolver la ecuación cúbica $x 3 + 200 x = 20 x 2 + 2000$ , de la que encontró una raíz positiva al considerar la intersección de una hipérbola equilátera y un círculo. Más adelante se encontró una solución numérica aproximada por interpolación en tablas trigonométricas. El más adelante en la última afirmación es erróneo, y debería ser reemplazado por un también. La construcción geométrica fue perfectamente adecuada para Omar Khayyam, ya que el problema se reducía a la resolución de la citada construcción geométrica. Al final de su trabajo, solo indica que "para este problema geométrico, si las aproximaciones son suficientes, se puede obtener una solución más simple consultando tablas trigonométricas". Textualmente, afirma: "Para que quien busca una solución quede satisfecho con una estimación, depende de él mirar en la tabla de cuerdas de Almagesto, o en la tabla de senos y senos versados del Observatorio Mothmed". A continuación añade una breve descripción de este método alternativo (en otras siete líneas).

[17] J. J. O'Connor and E. F. Robertson (1999), Omar Khayyam, MacTutor History of Mathematics archive, states, "Khayyam himself seems to have been the first to conceive a general theory of cubic equations."

[18] Guilbeau (1930, p. 9) states, "Omar Al Hay of Chorassan, about 1079 AD did most to elevate to a method the solution of the algebraic equations by intersecting conics."

[19] Datta, Bibhutibhushan; Singh, Avadhesh Narayan (2004), «Equation of Higher Degree», History of Hindu Mathematics: A Source Book 2, Delhi, India: Bharattya Kala Prakashan, p. 76, ISBN 81-86050-86-8 Parámetro desconocido |title-link= ignorado (ayuda).

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[22] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Fibonacci» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fibonacci/ .

[23] Katz, Victor (2004). A History of Mathematics. Boston: Addison Wesley. p. 220. ISBN 9780321016188.

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[29] Cubic discriminant - Algebra

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@@ Línea 9: / Línea 9: @@
 Donde ''a, b, c'' y ''d'' (''a'' ≠ 0) son números que pertenecen a un [[cuerpo (matemática)|cuerpo]],  el [[número real|cuerpo de los números reales]] o el de los [[número complejo|números complejos]], aunque con frecuencia son números racionales.<ref>Leithold, ''Álgebra Superior''.</ref><ref>Hall and Knigt: ''Algebra Superior''</ref>
+==Historia==
+Las ecuaciones cúbicas eran conocidas por los antiguos babilonios, griegos, chinos, indios y egipcios.<ref>{{Citation|last = Høyrup|first = Jens|title = Amphora: Festschrift for Hans Wussing on the Occasion of his 65th Birthday|chapter = The Babylonian Cellar Text BM 85200 + VAT 6599 Retranslation and Analysis|pages = 315–358|publisher = [[Birkhäuser]]|year = 1992|doi = 10.1007/978-3-0348-8599-7_16|isbn = 978-3-0348-8599-7}}</ref><ref name="oxf"/><ref name=wae/> Se han encontrado tabletas cuneiformes con tablas para calcular cubos y raíces cúbicas, datadas en el [[imperio babilónico]] (siglos XX a XVI a. C.).<ref>{{cite book|last=Cooke|first=Roger|title=The History of Mathematics|url=https://books.google.com/?id=CFDaj0WUvM8C&pg=PT63|date=8 November 2012|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-1-118-46029-0|page=63}}</ref><ref name="nen">{{cite book|last= Nemet-Nejat|first=Karen Rhea|title=Daily Life in Ancient Mesopotamia|url=https://books.google.com/?id=lbmXsaTGNKUC&pg=PA306|year=1998|publisher=Greenwood Publishing Group|isbn=978-0-313-29497-6|page=306}}</ref> Los babilonios podrían haber usado las tablas para resolver ecuaciones cúbicas, pero no existe evidencia para confirmar que lo hicieran realmente.<ref name=co>{{cite book|last=Cooke|first=Roger|title=Classical Algebra: Its Nature, Origins, and Uses|url=https://books.google.com/?id=JG-skeT1eWAC&pg=PA64|year=2008|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-470-27797-3|page=64}}</ref> El problema de la [[duplicación del cubo]] involucra la ecuación cúbica más simple y más antigua estudiada, para la que los antiguos egipcios no creían que existiera una solución.<ref>{{Harvtxt|Guilbeau|1930|p=8}} indica que "los egipcios consideraron la solución imposible, pero los griegos llegaron muy cerca de una solución."</ref> En el siglo V aC, [[Hipócrates de Quíos|Hipócrates]] redujo este problema al de encontrar dos medias proporcionales entre una segmento y otro de dos veces su longitud, pero no lo pudo resolver solo con  [[regla y compás]],<ref name=Guilbeau>{{Harvtxt|Guilbeau|1930|pp=8–9}}</ref> una tarea que ahora se sabe que es imposible.
+Métodos para resolver ecuaciones cúbicas aparecen en el ''[[Jiuzhang Suanshu]]'', un texto [[Matemática china|matemático chino]] compilado alrededor del siglo II a. C., comentado por [[Liu Hui]] en el siglo III.<ref name="oxf">{{cite book|last=Crossley|first=John|last2=W.-C. Lun|first2=Anthony|title=The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary|url=https://books.google.com/?id=eiTJHRGTG6YC&pg=PA176|year=1999|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-853936-0|page=176}}</ref> En el siglo III, el [[Matemática helénica|matemático griego]] [[Diofanto de Alejandría]] encontró soluciones enteras o racionales para algunas ecuaciones de tercer grado y dos variables ([[ecuación diofántica|ecuaciones diofánticas]] cúbicas).<ref name=wae>Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 {{ISBN|0-387-12159-5}}</ref><ref>{{cite book|title=Diophantus of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra|last=Heath|first=Thomas L.|author-link=Thomas_Little_Heath|pages=87–91|url=https://archive.org/details/diophantusofalex00heatiala|date=April 30, 2009|isbn=978-1578987542|publisher=Martino Pub}}</ref> [[Hipócrates de Quíos]], [[Menecmo]] y [[Arquímedes]] se acercaron a resolver el problema de duplicar el cubo usando intersección de [[sección cónica|curvas cónicas]],<ref name=Guilbeau/> aunque historiadores como Reviel Netz discuten si los griegos abordaron las ecuaciones cúbicas generales, o si solo consideraban problemas concretos. Algunos otros, como [[T. L. Heath]], que tradujo todos los trabajos de [[Arquímedes]], no están de acuerdo y presentan evidencias de que Arquímedes realmente resolvió ecuaciones cúbicas usando intersecciones de dos [[Sección cónica|cónicas]], y que también discutió las condiciones en las que las [[Raíz de una función|raíces]] son 0, 1 o 2.<ref>{{cite book|title=The works of Archimedes|author=Archimedes|author-link=Archimedes|others=Translation by T. L. Heath|date=October 8, 2007|isbn= 978-1603860512|publisher=Rough Draft Printing}}</ref>
+[[Image:Graph of cubic polynomial.svg|200px|left|thumb|[[Gráfica de una función|Gráfica]] de la función cúbica ''f''(''x'') = 2''x''<sup>3</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;3''x''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;3''x''&nbsp;+&nbsp;2 =
+ (''x''&nbsp;+&nbsp;1)&nbsp;(2''x''&nbsp;&minus;&nbsp;1)&nbsp;(''x''&nbsp;&minus;&nbsp;2)]]
+En el siglo VII, el astrónomo y matemático de la [[dinastía Tang]], [[Wang Xiaotong]], en su tratado matemático titulado [[Jigu Suanjing]], estableció y resolvió   [[Análisis numérico|numéricamente]] de forma sistemática 25 ecuaciones cúbicas de la forma {{math|''x''<sup>3</sup> + ''px''<sup>2</sup> + ''qx'' {{=}} ''N''}}, 23 de ellas con {{math|''p'', ''q'' ≠ 0}} y dos de ellas con {{math|''q'' {{=}} 0}}.<ref>{{Citation
+ |first= Yoshio
+ |last= Mikami
+ |author-link= Yoshio Mikami
+ |title= The Development of Mathematics in China and Japan
+ |chapter= Chapter 8 Wang Hsiao-Tung and Cubic Equations
+ |pages= 53&ndash;56
+ |publisher= Chelsea Publishing Co.
+ |location= New York
+ |year= 1974
+ |edition= 2nd
+ |origyear= 1913
+ |isbn= 978-0-8284-0149-4
+ |doi=}}</ref>
+En el siglo XI, el poeta-matemático persa, [[Omar Jayam]] (1048-1131), realizó un progreso significativo en la teoría de las ecuaciones cúbicas. En un texto antiguo, descubrió que una ecuación cúbica puede tener más de una solución y declaró que no se puede resolver utilizando solo la regla y el compás. También encontró una [[#Solución de Omar Khayyám|solución geométrica]].<ref>A paper of Omar Khayyam, Scripta Math. 26 (1963), pages 323–337</ref><ref>In {{MacTutor|id=Khayyam|title=Omar Khayyam}} se dice: ''Este problema a su vez llevó a Khayyam a resolver la ecuación cúbica ''{{math|''x''<sup>3</sup> + 200''x'' {{=}} 20''x''<sup>2</sup> + 2000}}'', de la que encontró una raíz positiva al considerar la intersección de una hipérbola equilátera y un círculo. Más adelante se encontró una solución numérica aproximada por interpolación en tablas trigonométricas''. El ''más adelante'' en la última afirmación es erróneo, y debería ser reemplazado por un ''también''. La construcción geométrica fue perfectamente adecuada para Omar Khayyam, ya que el problema se reducía a la resolución de la citada construcción geométrica. Al final de su trabajo, solo indica que "para este problema geométrico, si las aproximaciones son suficientes, se puede obtener una solución más simple consultando [[tablas trigonométricas]]". Textualmente, afirma: "Para que quien busca una solución quede satisfecho con una estimación, depende de él mirar en la tabla de cuerdas de Almagesto, o en la tabla de senos y senos versados del Observatorio Mothmed". A continuación añade una breve descripción de este método alternativo (en otras siete líneas).</ref> En su trabajo posterior, el "Tratado sobre la demostración de problemas de álgebra", escribió una clasificación completa de ecuaciones cúbicas con soluciones geométricas generales encontradas mediante la intersección de [[sección cónica|secciones cónicas]].<ref>J. J. O'Connor and E. F. Robertson (1999), [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Khayyam.html Omar Khayyam], [[MacTutor History of Mathematics archive]], states, "Khayyam himself seems to have been the first to conceive a general theory of cubic equations."<!-- quotation is in MacTutor--></ref><ref>{{Harvtxt|Guilbeau|1930|p=9}} states, "Omar Al Hay of Chorassan, about 1079 AD did most to elevate to a method the solution of the algebraic equations by intersecting conics."</ref>
+En el siglo XII, el matemático indio Bhaskara II intentó hallar la solución general de ecuaciones cúbicas sin éxito. Sin embargo, dio un ejemplo de una ecuación cúbica: {{math|''x''<sup>3</sup> + 12''x'' {{=}} 6''x''<sup>2</sup> + 35}}.<ref>{{Citation|last = Datta|first = Bibhutibhushan|author-link = Bibhutibhushan Datta|last2 = Singh|first2 = Avadhesh Narayan|title = History of Hindu Mathematics: A Source Book|volume = 2|page = 76|chapter = Equation of Higher Degree|publisher = Bharattya Kala Prakashan|location = Delhi, India|year = 2004|isbn = 81-86050-86-8|title-link = History of Hindu Mathematics: A Source Book}}</ref> En el siglo XII, otro [[Matemática en el islam medieval|matemático persa]], [[Sharaf al-Din al-Tusi]] (1135–1213), escribió el ''Al-Muʿādalāt'' (''Tratado sobre ecuaciones''), en el que describió ocho tipos de ecuaciones cúbicas con soluciones positivas y cinco tipos de ecuaciones cúbicas que pueden no tener soluciones positivas. Utilizó lo que luego se conocería como el "método de [[Regla de Ruffini|Ruffini]]-[[Algoritmo de Horner|Horner]]" para aproximar [[Análisis numérico|numéricamente]] las [[Raíz de una función|raíces]] de una ecuación cúbica. También utilizó los conceptos de [[extremos de una función]] para resolver ecuaciones cúbicas que pueden no tener soluciones positivas,<ref>{{MacTutor|id=Al-Tusi_Sharaf|title=Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi}}</ref> y entendió la importancia del [[discriminante]] de la ecuación cúbica para encontrar soluciones algebraicas para ciertos tipos de ecuaciones cúbicas.<ref>{{Citation |first=J. L. |last=Berggren |year=1990 |title=Innovation and Tradition in Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī's Muʿādalāt |journal=Journal of the American Oriental Society |volume=110 |issue=2 |pages=304–309 |doi= 10.2307/604533|jstor = 604533}}</ref>
+En su libro "Flos", Leonardo de Pisa, también conocido como [[Leonardo de Pisa|Fibonacci]] (1170–1250), pudo aproximar la solución positiva de la ecuación cúbica {{math|''x''<sup>3</sup> + 2''x''<sup>2</sup> + 10''x'' {{=}} 20}}. Escribiendo en [[numeración babilónica|numeración sexagesimal]] dio el resultado como 1,22,7,42,33,4,40 (equivalente a 1&nbsp;+&nbsp;22/60&nbsp;+&nbsp;7/60<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;42/60<sup>3</sup>&nbsp;+&nbsp;33/60<sup>4</sup>&nbsp;+&nbsp;4/60<sup>5</sup>&nbsp;+&nbsp;40/60<sup>6</sup>), que tiene un [[error de aproximación]] del orden de 10<sup>−9</sup>.<ref>{{MacTutor|id=Fibonacci|title=Fibonacci}}</ref>
+A principios del siglo XVI, el matemático italiano [[Scipione del Ferro]] (1465-1526) encontró un método para resolver una clase de ecuaciones cúbicas, a saber, las de la forma {{math|''x''<sup>3</sup> + ''mx'' {{=}} ''n''}}. De hecho, todas las ecuaciones cúbicas se pueden reducir a esta forma si se permite que {{mvar|m}} y {{mvar|n}} sean negativas, pero por entonces se desconocían los [[número negativo|números negativos]]. Del Ferro mantuvo su logro en secreto hasta justo antes de su muerte, cuando se lo reveló a su estudiante [[Antonio Fiore]].
+[[Image:Niccolò Tartaglia.jpg|thumb|160px|Niccolò Fontana ''Tartaglia'']]
+En 1530, [[Niccolò Fontana Tartaglia]] (1500-1557) recibió dos problemas en ecuaciones cúbicas remitidos por [[Zuanne da Coi]] y anunció que podía resolverlos. Pronto fue desafiado por Antonio Fiore, lo que llevó a un famoso concurso entre los dos. Cada concursante tenía que aportar una cierta cantidad de dinero y proponer una serie de problemas para que su rival los resolviera. Quien resolviera más problemas en 30 días obtendría todo el dinero. Tartaglia recibió preguntas en la forma {{math|''x''<sup>3</sup> + ''mx'' {{=}} ''n''}}, ecuaciones para las que había elaborado un método general. Fiore recibió preguntas en la forma {{math|''x''<sup>3</sup> + ''mx''<sup>2</sup> {{=}} ''n''}}, que resultaron ser demasiado difíciles de resolver para él, y Tartaglia ganó el concurso.
+Posteriormente, Tartaglia fue persuadido por [[Gerolamo Cardano]] (1501–1576) para que le revelara su método secreto de resolver ecuaciones cúbicas. En 1539, Tartaglia lo hizo solo con la condición de que Cardano nunca lo revelara y de que si escribía un libro sobre cúbicas, le daría tiempo a Tartaglia para publicar su descubrimiento. Algunos años después, Cardano se enteró de la existencia del trabajo anterior de Scipione del Ferro, y publicó el método de este último en su libro ''[[Ars magna|Ars Magna]]'' en 1545, lo que significaba que Cardano le concediera a Tartaglia seis años para publicar sus resultados (con crédito otorgado a Tartaglia por una solución independiente). La promesa de Cardano a Tartaglia decía que no publicaría el trabajo de Tartaglia, pero Cardano defendió que estaba publicando el procedimiento de Del Ferro, justificando así evitar cumplir su promesa. Sin embargo, Tartaglia retó a Cardano a un concurso matemático, a lo que este se negó. El desafío fue finalmente aceptado por el estudiante de Cardano [[Lodovico Ferrari]] (1522-1565). Ferrari lo hizo mejor que Tartaglia en la competición, y Tartaglia perdió tanto su prestigio como sus ingresos.<ref>{{Cite book |last=Katz |first=Victor |title=A History of Mathematics |page=[https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/220 220] |location=Boston |publisher=Addison Wesley |year=2004 |isbn=9780321016188 |url=https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/220 }}</ref>
+Cardano notó que el método de Tartaglia a veces requería que extrajera la raíz cuadrada de un número negativo. Incluso incluyó un cálculo con estos [[número complejo|números complejos]] en su ''Ars Magna'', pero realmente no lo entendió. [[Rafael Bombelli]] estudió este tema en detalle<ref name="Bombelli">{{Citation|last2 = Mazur|first2 = Barry|author2-link = Barry Mazur|last = La Nave|first = Federica|journal = [[The Mathematical Intelligencer]]|title = Reading Bombelli|volume = 24|issue = 1|pages = 12–21|year = 2002|doi = 10.1007/BF03025306}}</ref> y por lo tanto, a menudo se le considera el descubridor de los números complejos.
+[[François Viète]] (1540–1603) obtuvo de forma independiente la solución trigonométrica para la ecuación cúbica con tres raíces reales, y [[René Descartes]] (1596–1650) amplió el trabajo de Viète.<ref name=Nickalls/>
 == Función cúbica ==
 [[Archivo:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|250px|Gráfico de la función cúbica ''y = 1/4·(x+4)·(x+1)·(x-2)'' en el [[plano cartesiano]]. Las [[raíz de una función|raíces]] son los lugares donde la curva cruza el eje ''x'' (''y'' = 0), esto es: ''x1 = -4, x2 = -1'' y ''x3 = 2''.]]