Cambio de variable

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Un cambio de variable es una técnica empleada en matemática para resolver algunas ecuaciones o sistemas de ecuaciones de grado superior a uno, que de otra forma sería más complejo resolver. Mediante este sistema se da paso a una ecuación equivalente, y, una vez resuelta, se deshace el cambio para obtener el valor de la incógnita inicial. Se emplea en los siguientes casos:

Ejemplo: resolución de una ecuación exponencial mediante cambio de variable:

Existen tres tipos de ecuaciones exponenciales; en el segundo caso pueden reducirse a una de segundo grado. Es el caso de 9^x - 7 \cdot 3^x - 18 = 0 \,. Se siguen los siguientes pasos:

  • Se factoriza 9 en 32 para que tenga la misma base que 7 · 3x:
3^{2x} - 7 \cdot 3^x - 18 = 0 \,
  • Se realiza el cambio de variable 3x = z, por lo que 32x = z2, y tenemos:
z^2 - 7z - 18 = 0 \rightarrow\ z = \frac {7 \pm \sqrt {49 + 72}} {2} = \frac {7 \pm 11} {2} \rightarrow\ z_{1} = 9 ; z_{2} = -2\,
  • Se deshace el cambio de variable:
3^x = 9 \rightarrow\ 3^x = 3^2 \rightarrow\ x = 2

La única solución es x = 2, ya que las potencias de 3 siempre son positivas, por lo que 3x = - 2 no puede cumplirse.