Arcocoseno

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Función arcocoseno
Arccos.svg
Gráfica de Función arcocoseno
Definición  \textstyle f \mbox{ tal que } f(\cos(x))=x \,
Tipo Trigonométrica inversa
Dominio \textstyle [-1,1]
Codominio \textstyle [0,\pi]
Imagen \textstyle [0,\pi]
Propiedades Estrictamente decreciente
Biyectiva en su dominio
Cálculo infinitesimal
Derivada  -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
Función inversa \textstyle \cos(x) \quad x \in [0,\pi]
Funciones relacionadas arcoseno
arcotangente
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En trigonometría el arcocoseno está definido como la función recíproca del coseno de un ángulo. Si tenemos: \arccos \alpha\,, su significado geométrico es el arco cuyo coseno es alfa.

La función coseno no es biyectiva, por lo que no tiene recíproca. Es posible aplicarle una restricción del dominio de modo que se vuelva inyectiva y sobreyectiva. Por convención es preferible restringir el dominio del la función coseno al intervalo \left[0, \pi\right].

Notación[editar]

La notación matemática del arcocoseno es arccos; es común la escritura ambigua cos-1. En diversos lenguajes de programación se suele utilizar la forma ACOS y ACS.

Propiedades[editar]

FunInvTriR010.svg

El arcocoseno de una función continua es estrictamente decreciente, definida por todo el valor del intervalo \left[-1, 1\right]:


   \begin{array}{lccl}
      \arccos: & [-1, 1] & \rightarrow & [0, \pi] \\
               & x       & \rightarrow & y = \arccos(x)
   \end{array}

Su gráfico es simétrico respecto al punto \left(0,\frac\pi 2\right), siendo:


   \arccos x =
   \pi - \arccos(-x)

La derivada del la función arcocoseno es

\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.


Por medio del la guía descrita simétrica vale la relación por argumentos negativos:

\arccos\left(-x\right)=\pi-\arccos x.

Es posible combinar la suma o diferencia de arcocoseno en una expresión donde el arcocoseno figura una rotación:


\arccos x_1+\arccos x_2=
\begin{cases}
\arccos\left(x_1x_2-\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right)&
x_1+x_2\ge0\\
2\pi-\arccos\left(x_1x_2-\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right)&
x_1+x_2<0
\end{cases}

\arccos x_1-\arccos x_2=
\begin{cases}
-\arccos\left(x_1x_2+\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right)&
x_1\ge x_2\\
\arccos\left(x_1x_2+\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2}\right)&
x_1<x_2
\end{cases}
.

Serie de potencias[editar]

El desarrollo en serie de potencias del arcocoseno viene dado por:


\frac{\pi}{2}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}=\frac{\pi}{2}-x-\frac{1}{6}x^3+...

Nótese que este desarrollo solo es válido cuando se expresa el ángulo en radianes.

Demostración
Aplicando el desarrollo en serie de Taylor es sencillo demostrar el siguiente desarrollo:

\frac{1}{\sqrt{1-t}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}t^n

Efectuando el cambio t=s² se obtiene este desarrollo:


\frac{1}{\sqrt{1-s^2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}s^{2n}

Dado que:


\arccos(x)=\frac{\pi}{2}-\int_0^x\frac{1}{\sqrt{1-s^2}}ds

Integrando término a término la segunda serie se obtiene el desarrollo en serie del arcocoseno:


\arccos(x)=\frac{\pi}{2}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2(2n+1)}x^{2n+1}

Aplicaciones[editar]

En un triángulo rectángulo, el arcocoseno equivale a la expresión en radianes del ángulo agudo correspondiente a la razón entre su cateto adyacente y la hipotenusa.

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]