Anexo:Funciones matemáticas

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Dados los conjuntos X e Y, finitos o infinitos y una función f del conjunto X en el conjunto Y que asigna a todo elemento x de X un solo elemento y de Y:


   \begin{array}{rccl}
      f: & X & \longrightarrow{} & Y \\
         & x & \mapsto           & y = f(x)
   \end{array}

Dado un par de valores x de X e y de Y, tal que la función f los relaciona, x es el origen de la función e y la imagen. En el análisis de funciones tomaremos x como variable independiente e y como variable dependiente, y = f(x), la forma matemática de la expresión que relaciona x con y, da lugar a los distintos tipos de funciones, algunos de los cuales debido a su importancia, tienen nombres propios, y por las similitudes que presentan se pueden agrupar en tipos, a continuación podemos ver algunas de estas funciones o tipos de funciones, con las correspondientes referencias a los artículos principales donde son estudiadas en profundidad.

Tipos de funciones y su clasificación[editar]

Todas las funciones se clasifican necesariamente dentro de uno de los dos conjuntos infinitos de funciones, que son:

  • Conjunto de funciones elementales, formadas por los polinomios, el cociente de polinomios, los radicales, las funciones trigonométricas y sus inversas, las funciones exponencial y logarítmica, así como todas las funciones formadas a partir de las anteriores mediante operaciones algebraicas o composición de funciones.
  • Conjunto de funciones no-elementales, son el resto de funciones, es decir, cualquier función que no puede ser obtenida mediante un número finito de pasos combinando funciones elementales es una función no elemental.

Funciones elementales[editar]

Las funciones elementales son funciones recursivamente construibles a partir de alguna de los siguientes conjuntos:

  1. Conjunto de funciones polinómicas
  2. Función exponencial
  3. Funciones trigonométricas

Mediante alguna de las siguientes operaciones

  1. Operaciones de álgebra elemental (suma, resta, multiplicación, división) entre funciones de los anteriores conjuntos
  2. Composición de funciones elementales de los anteriores conjuntos
  3. Recíproco de funciones elementales (dada una función elemental su recíproca también es elemental por definición).

   Funciones
   \left \{
   \begin{array}{l}
      Expl \acute{\imath} citas \\
      Impl \acute{\imath} citas
   \end{array}
   \right .

   Funciones
   \left \{
   \begin{array}{l}
      Algebraicas
      \left \{
      \begin{array}{l}
         Potencias
            \left \{
            \begin{array}{l}
               Polin \acute{o} mica \\
               Racionales
            \end{array}
            \right .
      \\
         Radicales
      \end{array}
      \right .
      \\
      Trascendentes
      \left \{
      \begin{array}{l}
         Trigonom \acute{e} trica \\
         Exponencial              \\
         Logar \acute{\imath} tmica
      \end{array}
      \right .
   \end{array}
   \right .

Por otra parte existen "operaciones" que no necesariamente dan lugar a una función elemental:

  • La función primitiva de una función elemental no tienen porqué ser una función elemental.
  • Las transformadas integrales de funciones elementales frecuentemente no son funciones elementales.
  • Las soluciones de ecuaciones diferenciales expresables en términos de funciones elementales frecuentemente no son ellas mismas funciones elementales.

Funciones explícitas e implícitas[editar]

Una función puede venir dada en forma explícita o en forma implícita. Una fórmula explícita tiene la forma:

y = f(x)\,

que permite calcular directamente el valor de y dado el valor de x. Por el contrario una función está en forma implícita si la variable dependiente no está explicitada respecto a la variable independiente, expresándose de la forma:


   f(x, y)=0 \;

Niels Henrik Abel demostró en 1824, que una función algebraica de grado superior a 4 no puede explicitarse, por eso las funciones implícitas son aquellas que no pueden ser expresadas de forma explícita. Por ejemplo la función:


   y^5 - 2xy^2 + 1 = 0 \;

no puede ser expresada de forma explícita:


   y =f(x)\;
  • Una función es implícita si no puede ser expresada de forma explícita.
  • Una función esta en su forma implícita si la variable dependiente no está despejada respecto a la variable independiente.

Funciones algebraicas[editar]

Una función se dice algebraica si en su formulación solo intervienen las operaciones algebraicas de suma, diferencia, multiplicación, división y potenciación, si una función no es algebraica es trascendente.

Las funciones algebraicas incluyen a las:

  • Funciones polinómicas que son las funciones P(x), donde P es un polinomio en x, es decir una combinación finita de sumas y productos entre escalares (números) y la variable x. Usualmente, los escalares son números reales, pero en ciertos contextos, los coeficientes pueden ser elementos de un campo o un anillo arbitrario (por ejemplo, fracciones, o números complejos)

 y= 4x^3- x \;

Como casos particulares de funciones polinómicas se tienen:
Función constante: f(x)= a
Función lineal: f(x)= ax + b es un binomio del primer grado.
Función cuadrática: F(x)= ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado.
  • Funciones racionales que son cocientes entre dos polinomios, estas funciones se obtienen al dividir una función polinomial por otra, no idénticamente nula, por ejemplo:

 y = \frac{3x^2-4x+1}{x^2-1}

Funciones radicales[editar]

La función raíz n-ésima (leáse "raíz ene-ésima") es la función inversa de la función elemental de potenciación. Y en tanto que inversa de un tipo de función elemental la función raíz es también una función elemental. Si en una función, la variable independiente está bajo el signo de radicación, sin poder obtener una expresión de esa misma función en la que no esté, esa función es irracional, por ejemplo:


   y =\sqrt{x}

Si tenemos la función:


   y = \sqrt{x^2 +2x +1}

la variable independiente, x, está bajo el signo de radicación, pero podemos ver que:


   y= \sqrt{x^2+2x+1}
   \rightarrow \quad
   y= \sqrt{(x+1)^2}
   \rightarrow \quad
   y= x+1

con lo que obtenemos una función no irracional.

Funciones elementales básicas trascendentes[editar]

Las funciones elementales básicas trascendentes son un conjunto finito de funciones que son usadas en todas las áreas de las matemáticas, física e ingeniería. Estas abarcan:

  1. Las Funciones trigonométricas: Seno, coseno, tangente; secante, cosecante, cotangente.
  2. Las funciones trigonométricas inversas: seno inverso, coseno inverso, tangente inversa, cotangente inversa, secante inversa y cosecante inversa.
  3. Las Funciones hiperbólicas: seno hiperbólico, coseno hiperbólico, tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica, secante hiperbólica y cosecante hiperbólica.
  4. Las funciones hiperbólicas inversas: seno hiperbólico inverso, coseno hiperbólico inverso, tangente hiperbólico inverso, cotangente hiperbólico inverso, secante hiperbólica inversa y cosecante hiperbólica inversa;
  5. La Función logarítmica
  6. La inversa del logaritmo, que correspondería a la Función exponencial.

De este modo son en total seis tipos distintos de funciones y se dicen elementales porque siempre posee la función un argumento sobre el cual operar, mientras que las funciones algebraicas quedan completamente definidas por la variable independiente, coeficientes y potencias.

Funciones no elementales[editar]

Funciones básicas especiales

Función indicatriz
Función escalonada
Función escalón unitario
Funciones de parte entera
Función unitaria de Heaviside
Función signo
Valor absoluto
Función mantisa
Función de Dirichlet
Función de Ackermann

Funciones de Teoría de números

Función divisor
Función φ de Euler
Función primordial de conteo

Integral de funciones elementales

Función integral de logaritmo
Integral exponencial
Función error

Funciones especiales[editar]

Las funciones especiales son funciones no elementales definidas ex professo para algunas aplicaciones particulares. Muchas de las funciones especiales son funciones que son soluciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden de importancia práctica entre estas funciones se encuentran:

Otras cuantas funciones aparecen como soluciones para problemas de cálculo integral:

Sin embargo no todas las funciones especiales proceden del cálculo diferencial, algunas otras que proceden originalmente de otros contextos son:

Aplicaciones en espacios funcionales[editar]

Una aplicación T entre espacios funcionales es una "función" que aplica funciones de una determianda clase o espacio funcional dando como resultado una función de otra clase o espacio funcional:

T:\mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2

Desde el punto de vista matemático, muchos espacios funcionales pueden ser dotados de la estructura de espacio topológico o espacio normado, lo cual permite extender los conceptos de continuidad, acotación, etc. a aplicaciones entre espacios de funciones. Algunos ejemplos de transformaciones son:

Funciones de probabilidad[editar]

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]