Función hiperbólica

Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas. Estas son:

Curvas de la funciones hiperbólicas sinh, cosh y tanh

Curvas de las funciones hiperbólicas csch, sech y coth

El seno hiperbólico

$\sinh(x) = \frac {e^{x} - e^{-x}} {2}$

El coseno hiperbólico

$\cosh(x) = \frac {e^{x} + e^{-x}} {2}$

La tangente hiperbólica

$\tanh(x) = \frac {\sinh(x)} {\cosh(x)}$

y otras líneas:

$\coth(x) = \frac {\cosh(x)} {\sinh(x)}$

(cotangente hiperbólica)

$\mbox{sech}(x) = \frac {1} {\cosh(x)}$

(secante hiperbólica)

$\mbox{csch}(x) = \frac {1} {\sinh(x)}$

(cosecante hiperbólica)

Relación entre funciones hiperbólicas y funciones circulares

Las funciones trigonométricas sin(t) y cos(t) pueden ser las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P sobre la circunferencia unitaria centrada en el origen, donde es t el ángulo, medido en radianes, comprendido entre el semieje positivo X, y el segmento OP, según las siguientes igualdades:

$\left \{ \begin{matrix} x(t) = \cos t \\ y(t) = \sin t \end{matrix} \right .$

También puede interpretarse el parámetro t como la longitud del arco de circunferencia unitaria comprendido entre el punto (1,0) y el punto P, o como el doble del área del sector circular determinado por el semieje positivo X, el segmento OP y la circunferencia unitaria.

Animación de la representación del seno hiperbólico.

De modo análogo, podemos definir las funciones hiperbólicas, como las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P de la hipérbola equilátera, centrada en el origen, cuya ecuación es

$\ x^2-y^2=1$

siendo t el doble del área de la región comprendida entre el semieje positivo X, y el segmento OP y la hipérbola, según las siguientes igualdades:

$\left \{ \begin{matrix} x(t) = \cosh t \\ y(t) = \sinh t \end{matrix} \right .$

Sin embargo, también puede demostrarse que es válida la siguiente descripción de la hipérbola:

$\ x(t) = \frac {e^{t} + e^{-t}} {2}$

$\ y(t) = \frac {e^{t} - e^{-t}} {2}$

dado que

$\ \left ( \frac {e^{t} + e^{-t}} {2} \right )^2 - \left ( \frac {e^{t} - e^{-t}} {2} \right )^2 = 1$

De modo que el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico admiten una representación en términos de funciones exponenciales de variable real:

$\ \cosh(t) = \frac {e^{t} + e^{-t}} {2}$

$\ \sinh(t) = \frac {e^{t} - e^{-t}} {2}$

Relaciones

Ecuación fundamental

$\cosh^2(x) - \,\mathrm{sinh}^2(x) = 1 \,$

Duplicación del argumento

Tenemos las siguientes fórmulas muy similares a sus correspondientes trigonométricas

$\cosh(x+y) = \cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)$

que nos lleva a la siguiente relación:

$\cosh(2x) = \cosh^2(x)+\,\mathrm{sinh}^2(x)$

y por otra parte

$\mathrm{sinh}(x+y) = \mathrm{sinh}(x)\cosh(y)+\mathrm{sinh}(y)\cosh(x)$

que nos lleva a:

$\mathrm{sinh}(2x) = 2\,\mathrm{sinh}(x)\cosh(x)$

se tiene esta otra relación

$\tanh(x + y)= \frac{\tanh (x) + \tanh (y)}{1 + \tanh (x) \tanh (y)}$

que nos permite tener

$\tanh(2x) = \frac{2\tanh x}{1 + \tanh^2 x}$

Derivación e integración

$\frac{d\ }{dx}(\cosh(x)) = \,\mathrm{sinh}\,(x)$

$\frac{d\ }{dx}(\,\mathrm{sinh}\,(x)) = \cosh(x)$

$\frac{d\ }{dx}(\,\tanh(x)) = sech^2(x)$

$\frac{d\ }{dx}(\,coth(x)) = -csch^2(x)$

$\frac{d\ }{dx}(\,sech(x)) = -sech(x)tanh(x)$

$\frac{d\ }{dx}(\,csch(x)) = -csch(x)coth(x)$

Además la integración al ser la operación inversa de la derivación es trivial en este caso.

La derivada de sinh(x) está dada por cosh(x) y la derivada de cosh(x) es sinh(x). El gráfico de la función cosh(x) se denomina catenaria.

Inversas de las funciones hiperbólicas y derivadas

Las funciones recíprocas de las funciones hiperbólicas son:

$\begin{align} \mbox {arg sinh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) &\frac{d}{dx} (\mbox {arg sinh}(x) ) &= \frac{1}{ \sqrt{x^{2} + 1} } \\ \mbox {arg cosh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right); x \ge 1 &\frac{d}{dx}(\mbox {arg cosh(x)})&=\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}; x > 1\\ \mbox {arg tanh} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right); \left| x \right| < 1 &\frac{d}{dx}(\mbox {arg tanh(x)}) &= \frac{1}{1-x^2}; \left| x \right| < 1\\ \mbox {arg coth} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{x + 1}{x - 1} \right); \left| x \right| > 1 & \frac{d}{dx}(\mbox {arg coth(x)}) &= \frac{1}{1-x^2}; \left| x \right| > 1 \\ \mbox {arg sech} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x} \right); 0 < x \le 1 & \frac{d}{dx}(\mbox {arg sech(x)})&=\frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}}; 0 < x < 1 \\ \mbox {arg csch} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\left| x \right|} \right); x \ne 0 & \frac{d}{dx}(\mbox {arg csch(x)}) &= \frac{-1}{\left| x \right| \sqrt{1+x^2}}; x \ne 0 \end{align}$

Series de Taylor

Las series de Taylor de las funciones inversas de las funciones hiperbólicas vienen dadas por:

$\mbox{arg sinh} (x) = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots =$

$\mbox{arg sinh} (x) = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1$

$\mbox{arg cosh} (x) = \ln 2 - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots ) =$

$\mbox{arg cosh} (x) = \ln 2 - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , x > 1$

$\mbox{arg tanh} (x) = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots =$

$\mbox{arg tanh} (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1$

$\mbox{arg csch} (x) = \mbox{arg sinh} (x^{-1}) = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots =$

$\mbox{arg csch} (x) =\sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1$

$\mbox{arg sech} (x) = \mbox{arg cosh} (x^{-1}) = \ln 2 - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots ) =$

$\mbox{arg sech} (x) =\ln 2 - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {(2n)} , 0 < x \le 1$

$\mbox{arg coth} (x) = \mbox{arg tanh} (x^{-1}) = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots =$

$\mbox{arg coth} (x) =\sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \left| x \right| > 1$

Relación con la función exponencial

De la relación del coseno y seno hiperbólico se pueden derivar las siguientes relaciones:

$e^x = \cosh x + \sinh x\!$

y

$e^{-x} = \cosh x - \sinh x.\!$

Estas expresiones son análogas a las que están en términos de senos y cosenos, basadas en la fórmula de Euler, como suma de exponenciales complejos.

Véase también

• Trigonometría
• Funciones trigonométricas
• Logaritmo natural
• Número e