Función hiperbólica
Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas. Estas son:
y otras líneas:
- (cotangente hiperbólica)
- (secante hiperbólica)
- (cosecante hiperbólica)
Contenido |
[editar] Relación entre funciones hiperbólicas y funciones circulares
Las funciones trigonométricas sin(t) y cos(t) pueden ser las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P sobre la circunferencia unitaria centrada en el origen, donde es t el ángulo, medido en radianes, comprendido entre el semieje positivo X, y el segmento OP, según las siguientes igualdades:
También puede interpretarse el parámetro t como la longitud del arco de circunferencia unitaria comprendido entre el punto (1,0) y el punto P, o como el doble del área del sector circular determinado por el semieje positivo X, el segmento OP y la circunferencia unitaria.
De modo análogo, podemos definir las funciones hiperbólicas, como las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P de la hipérbola equilátera, centrada en el origen, cuya ecuación es
siendo t el doble del área de la región comprendida entre el semieje positivo X, y el segmento OP y la hipérbola, según las siguientes igualdades:
Sin embargo, también puede demostrarse que es válida la siguiente descripción de la hipérbola:
dado que
De modo que el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico admiten una representación en términos de funciones exponenciales de variable real:
[editar] Relaciones
[editar] Ecuación fundamental
[editar] Duplicación del argumento
[editar] Derivación e integración
La derivada de sinh(x) está dada por cosh(x) y la derivada de cosh(x) es sinh(x). El gráfico de la función cosh(x) se denomina catenaria.
[editar] Inversas de las funciones hiperbólicas
Las funciones recíprocas de las funciones hiperbólicas son:
Las series de Taylor de las funciones inversas de las funciones hiperbólicas vienen dadas por:
[editar] Relación con la función exponencial
De la relación del coseno y seno hiperbólico se pueden derivar las siguientes relaciones:
y
Estas expresiones son análogas a las que están en términos de senos y cosenos, basadas en la fórmula de Euler, como suma de exponenciales complejos.



































