Función hiperbólica

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Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas ordinarias o funciones circulares. Estas son:

Curvas de la funciones hiperbólicas
sinh, cosh y tanh
Curvas de las funciones hiperbólicas
csch, sech y coth

El seno hiperbólico

\sinh(wx) = \frac {e^{wx} - e^{-wx}} {2}

El coseno hiperbólico

\cosh(wx) = \frac {e^{wx} + e^{-wx}} {2}

La tangente hiperbólica

\tanh(x) = \frac {\sinh(x)} {\cosh(x)}

y otras líneas:

\coth(x) = \frac {\cosh(x)} {\sinh(x)}
(cotangente hiperbólica)
\mbox{sech}(x) = \frac {1} {\cosh(x)}
(secante hiperbólica)
\mbox{csch}(x) = \frac {1} {\sinh(x)}
(cosecante hiperbólica)

Contenido

[editar] Relaciones

\cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1 \,



La derivada de sinh(x) está dada por cosh(x) y la derivada de cosh(x) es sinh(x). El gráfico de la función cosh(x) se denomina catenaria.

[editar] Series de Taylor

Es posible expresar las funciones hiperbólicas utilizando una Serie de Taylor:


\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}


\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}


\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_nx^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}


\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}2^{2n} B_n x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi


\operatorname {sech} x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n E_n x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2}


\operatorname {csch} x = \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n 2 (2^{2n}-1) B_n x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi

Donde

B_n \, es el enésimoNúmero de Bernoulli y
E_n \, es el enésimo Número de Euler

[editar] Inversas de las funciones hiperbólicas

Las funciones recíprocas de las funciones hiperbólicas son:


\mbox{arcsinh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})


\mbox{arccosh}(x) = \ln(x \pm \sqrt{x^2 - 1})


\mbox{arctanh}(x) = \ln\left(\sqrt\frac{1 - x^2}{1-x}\right) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)


\mbox{arccoth}(x) = \ln\left(\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x-1}\right) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)


\mbox{arcsech}(x) = \ln\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 - x^2}}{x}\right)


\mbox{arccsch}(x) = \ln\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 + x^2}}{x}\right)


Las series de Taylor de las funciones inversas de las funciones hiperbólicas vienen dadas por:


\operatorname{asinh} (x) = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots =
\operatorname{asinh} (x) = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1


 \operatorname{acosh} (x) = \ln 2 - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots ) =
 \operatorname{acosh} (x) = \ln 2 - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , x > 1


\operatorname{atanh} (x) = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots =
\operatorname{atanh} (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1


\operatorname{acsch} (x) = \operatorname{asinh} (x^{-1}) = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots =
\operatorname{acsch} (x) =\sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1


\operatorname{asech} (x) = \operatorname{acosh} (x^{-1}) = \ln 2 - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots ) =
\operatorname{asech} (x) =\ln 2 - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {(2n)} , 0 < x \le 1


\operatorname{acoth} (x) = \operatorname{atanh} (x^{-1}) = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots =
\operatorname{acoth} (x) =\sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \left| x \right| > 1

[editar] Véase también

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