Función hiperbólica

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Las funciones hiperbólicas son unas funciones cuyas definiciones se basan en la función exponencial, conectando mediante operaciones racionales y son análogas a las funciones trigonométricas.[1] Estas son:

Curvas de la funciones hiperbólicas sinh, cosh y tanh
Curvas de las funciones hiperbólicas csch, sech y coth

El seno hiperbólico

\sinh(x) = \frac {e^{x} - e^{-x}} {2}

El coseno hiperbólico

\cosh(x) = \frac {e^{x} + e^{-x}} {2}

La tangente hiperbólica

\tanh(x) = \frac {\sinh(x)} {\cosh(x)}

y otras líneas:

\coth(x) = \frac {\cosh(x)} {\sinh(x)}
(cotangente hiperbólica)
\mbox{sech}(x) = \frac {1} {\cosh(x)}
(secante hiperbólica)
\mbox{csch}(x) = \frac {1} {\sinh(x)}
(cosecante hiperbólica)

Relación entre funciones hiperbólicas y funciones circulares[editar]

Las funciones trigonométricas sin(t) y cos(t) pueden ser las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P sobre la circunferencia unitaria centrada en el origen, donde es t el ángulo, medido en radianes, comprendido entre el semieje positivo X, y el segmento OP, según las siguientes igualdades:

 
\left \{ \begin{matrix}
           x(t) = \cos t \\
           y(t) = \sin t
\end{matrix}
\right .

También puede interpretarse el parámetro t como la longitud del arco de circunferencia unitaria comprendido entre el punto (1,0) y el punto P, o como el doble del área del sector circular determinado por el semieje positivo X, el segmento OP y la circunferencia unitaria.

Animación de la representación del seno hiperbólico.

De modo análogo, podemos definir las funciones hiperbólicas, como las coordenadas cartesianas (x,y) de un punto P de la hipérbola equilátera, centrada en el origen, cuya ecuación es

\ x^2-y^2=1

siendo t el doble del área de la región comprendida entre el semieje positivo X, y el segmento OP y la hipérbola, según las siguientes igualdades:

 
\left \{ \begin{matrix}
           x(t) = \cosh t \\
           y(t) = \sinh t
\end{matrix}
\right .

Sin embargo, también puede demostrarse que es válida la siguiente descripción de la hipérbola:

\ x(t) = \frac {e^{t} + e^{-t}} {2}
\ y(t) = \frac {e^{t} - e^{-t}} {2}

dado que

\ \left ( \frac {e^{t} + e^{-t}} {2} \right )^2 - \left ( \frac {e^{t} - e^{-t}} {2} \right )^2 = 1

De modo que el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico admiten una representación en términos de funciones exponenciales de variable real:

\ \cosh(t) = \frac {e^{t} + e^{-t}} {2}
\ \sinh(t) = \frac {e^{t} - e^{-t}} {2}

Relaciones[editar]

Ecuación fundamental[editar]

\cosh^2(x) - \,\mathrm{sinh}^2(x) = 1 \,

Duplicación del argumento[editar]

Tenemos las siguientes fórmulas[2] muy similares a sus correspondientes trigonométricas

\cosh(x+y) = \cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)

que nos lleva a la siguiente relación:

\cosh(2x) = \cosh^2(x)+\,\mathrm{sinh}^2(x)

y por otra parte

\mathrm{sinh}(x+y) = \mathrm{sinh}(x)\cosh(y)+\mathrm{sinh}(y)\cosh(x)

que nos lleva a:

\mathrm{sinh}(2x) = 2\,\mathrm{sinh}(x)\cosh(x)

se tiene esta otra relación

\tanh(x + y)= \frac{\tanh (x) + \tanh (y)}{1 + \tanh (x) \tanh (y)}

que nos permite tener

\tanh(2x) = \frac{2\tanh x}{1 + \tanh^2 x}

Derivación e integración[editar]

\frac{d\ }{dx}(\cosh(x)) = \,\mathrm{sinh}\,(x)
\frac{d\ }{dx}(\,\mathrm{sinh}\,(x)) = \cosh(x)
\frac{d\ }{dx}(\,\tanh(x)) = \mathrm{sech}^2(x)
\frac{d\ }{dx}(\mathrm{coth}(x)) = -\mathrm{csch}^2(x)
\frac{d\ }{dx}(\mathrm{sech}(x)) = -\mathrm{sech}(x)\tanh(x)
\frac{d\ }{dx}(\mathrm{csch}(x)) = -\mathrm{csch}(x)\mathrm{coth}(x)

Además la integración al ser la operación inversa de la derivación es trivial en este caso.

La derivada de sinh(x) está dada por cosh(x) y la derivada de cosh(x) es sinh(x). El gráfico de la función cosh(x) se denomina catenaria.

Inversas de las funciones hiperbólicas y derivadas[editar]

Las funciones recíprocas y derivadas de las funciones hiperbólicas son:[3] [4]

\begin{align}
 
   \mbox {arg  sinh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) &\frac{d}{dx} (\mbox {arg sinh}(x) ) &= \frac{1}{ \sqrt{x^{2} + 1} } \\

  \mbox {arg cosh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right); x \ge 1 &\frac{d}{dx}(\mbox {arg cosh(x)})&=\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}; x > 1\\

  \mbox {arg tanh} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right); \left| x \right| < 1 &\frac{d}{dx}(\mbox {arg tanh(x)}) &= \frac{1}{1-x^2};  \left| x \right| < 1\\

  \mbox {arg coth} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{x + 1}{x - 1} \right); \left| x \right| > 1 & \frac{d}{dx}(\mbox  {arg coth(x)}) &= \frac{1}{1-x^2}; \left| x \right| > 1 \\

  \mbox {arg sech} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x} \right); 0 < x \le 1 & \frac{d}{dx}(\mbox {arg sech(x)})&=\frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}}; 0 < x < 1 \\

  \mbox {arg csch} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\left| x \right|} \right); x \ne 0 & \frac{d}{dx}(\mbox  {arg csch(x)}) &= \frac{-1}{\left| x \right| \sqrt{1+x^2}}; x \ne 0
\end{align}

Series de Taylor[editar]

Las series de Taylor de las funciones inversas de las funciones hiperbólicas vienen dadas por:

\mbox{arg sinh} (x) = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots =
\mbox{arg sinh} (x) = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1
 \mbox{arg cosh} (x) = \ln 2 - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots ) =
 \mbox{arg cosh} (x) = \ln 2 - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , x > 1
\mbox{arg tanh} (x) = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots =
\mbox{arg tanh} (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1
\mbox{arg csch} (x) = \mbox{arg sinh} (x^{-1}) = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots =
\mbox{arg csch} (x) =\sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \left| x \right| < 1
\mbox{arg sech} (x) = \mbox{arg cosh} (x^{-1}) = \ln 2 - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots ) =
\mbox{arg sech} (x) =\ln 2 - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {(2n)} , 0 < x \le 1
\mbox{arg coth} (x) = \mbox{arg tanh} (x^{-1}) = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots =
\mbox{arg coth} (x) =\sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \left| x \right| > 1

Relación con la función exponencial[editar]

De la relación del coseno y seno hiperbólico se pueden derivar las siguientes relaciones:

e^x = \cosh x + \sinh x\!

y

e^{-x} = \cosh x - \sinh x.\!

Estas expresiones son análogas a las que están en términos de senos y cosenos, basadas en la fórmula de Euler, como suma de exponenciales complejos.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Cálculo de Granville
  2. Bronshtein, I y otro (1982). Manual de Matemáticas para Ingenieros y estudiantes. Mir. p. 696. 
  3. Purcell, Edwin J. y otro (1987). Cálculo con Geometría Analítica. Prenttice-Hall Hispanoamericana S.A. p. 868. ISBN 0-13-111807-2. 
  4. wikipedia. «Hiperbolic» (en english).