Resolución de ecuaciones

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En matemáticas, la resolución de una ecuación es el procedimiento de cálculo para encontrar cuáles son los valores (números, funciones, conjuntos, etc.) que cumplen la condición indicada como una igualdad (una ecuación). Estos valores se suelen denominar raíces de la ecuación. La resolución de ecuaciones polinómicas, o algebraicas, juega un papel importante en el nacimiento y posterior desarrollo del álgebra. La rama de las matemáticas que las estudia es la teoría de ecuaciones.

La resolución de ecuaciones lineales, cuadráticas, cúbicas y cuárticas mediante factorización de raíces es bastante sencilla cuando las raíces son racionales o reales; también hay fórmulas que proporcionan las soluciones. Sin embargo, no hay una fórmula general en términos de raíces para las ecuaciones de quinto grado sobre los racionales; mediante un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y extracciones de raíces. Esto lo probó por primera vez el teorema de Abel-Ruffini, publicado en 1824, que fue una de las primeras aplicaciones de la teoría de grupos en el álgebra. Este resultado también se cumple para ecuaciones de mayor grado.

Generalmente, la condición comprende expresiones con variables (o incógnitas) indefinidas que deben ser sustituidas por valores de forma tal que la igualdad sea cierta.

Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si admiten las mismas soluciones.

En un caso general, sea

f(x1,...,xn) = c,

siendo c una constante, que tiene un conjunto de soluciones S del tipo

{(a1,...,an) pertenecen a Tn tales que f(a0,...,an)=c}

con Tn el dominio de la función. Notar que es posible que el conjunto de soluciones puede ser vacío (o sea no hay soluciones), unitario (existe exactamente una solución), finita, o infinito (existe un número infinito de soluciones).

Por ejemplo, para resolver la ecuación,

3x + 2y = 21z

primero se la modifica de forma de mantener la igualdad, por ejemplo restando en ambos lados 21z de forma tal de obtener

3x + 2y - 21z = 0

En este caso, se observa que existe un número infinito de soluciones para esta ecuación, las soluciones se pueden expresar como

{(x, y, z) tales que 3x + 2y - 21z = 0}.

una solución particular es x = 20/3, y = 11, z = 2. En efecto, este conjunto particular de soluciones describe un plano en un espacio de tres dimensiones, el cual pasa por el punto (20/3, 11, 2).

Conjuntos de soluciones[editar]

Si el conjunto de soluciones es vacío, entonces no existe ningún xi tal que

f(x0,...,xn)=c

sea cierto para un dado valor de c.

Por ejemplo, examinemos el caso clásico de una variable, dada la función

f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R} ; x \longmapsto x^2

consideremos la ecuación

f(x) = -1

El conjunto solución es {}, en el sentido de que no existe ningún número real positivo que resuelva la ecuación. Notar que si en la búsqueda de soluciones para esta ecuación, modificaramos por ejemplo la definición de la función - específicamente el dominio de la función, entonces es posible encontrar soluciones para la ecuación. Por lo tanto, si modificaramos el problema y definieramos

g : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} ; x \longmapsto x^2
g(x) = -1

tiene un conjunto solución {i, -i}, donde i es la unidad imaginaria. Esta ecuación tiene exactamente dos soluciones.

Tal como se ha ilustrado previamente ciertos conjuntos de soluciones describen superficies. Por ejemplo, el conjunto solución de una ecuación del tipo ax=b con a,b constantes reales, es una línea en el espacio vectorial R2. Sin embargo, no siempre es posible graficar en forma simple los conjuntos...solución - por ejemplo, el conjunto solución de una ecuación del tipo ax+by+cz+dw=k (con a, b, c, d, y k constantes reales) es un hiperplano. CASOS ESPECIALES Ejemplo de una ecuación sin solución x-3=x+2 Al restar x en ambos lados de la ecuación queda -3=2, lo cual no se cumple para ningún valor de x. Ejemplo de una ecuación con infinitas soluciones 2x-1=3x+3-x-4 Al simplificar queda 2x-1=2x-1, lo cual se cumple para cualquier valor de x.

Métodos de solución[editar]

En casos simples, es relativamente fácil resolver una ecuación siempre y cuando se satisfagan ciertas condiciones. Sin embargo, en casos más complicados, es difícil o engorroso obtener expresiones simbólicas para las soluciones, y por ello a veces se utilizan soluciones numéricas aproximadas.

Funciones inversas[editar]

Para el caso simple de una función de una variable, por ejemplo, h(x), se puede resolver una ecuación del tipo

h(x) = c, c constante

si se tiene en cuenta lo que se denomina la función inversa de h.

Dada una función h : AB, la función inversa, identificada como h-1, se define como h-1 : BA es una función tal que

h-1(h(x)) = h(h-1(x)) = x.

Ahora, si se aplica la función inversa de ambos lados de la igualdad

h(x)=c, c constante

se obtiene

h-1(h(x))=h-1(c)
x = h-1(c)

y se ha encontrado la solución de la ecuación. Sin embargo, dependiendo de la función, puede ser difícil definir la inversa, o puede que no sea una función en todo el conjunto B (solo por ejemplo en un subconjunto), y tener muchos valores para un dado punto.

Ejemplos[editar]

Si x aparece como sumando en la ecuación, se suma el término opuesto (con el signo cambiado) a ambos lados de la ecuación para obtener x. Si x aparece multiplicando, entonces se multiplican ambos lados de la ecuación por su número recíproco. Si x es un exponente en una ecuación exponencial, se aplica el logaritmo en una base adecuada a ambos lados de la ecuación. Si x es la base de una ecuación de potencia, se aplica la raíz correspondiente a ambos lados de la ecuación. Si x es el ángulo en una ecuación trigonométrica, se aplica la función trigonométrica inversa a ambos lados de la ecuación.

Ejemplo 1

Sea la ecuación cúbica  2t^3 + 6t^2 + 12t + 10 = 0 \,, Se procederá a resolverla, para ello, se siguen los siguientes pasos.

  • t^3 + 3t^2 + 6t + 5 = 0 \, (al dividir por 2)
  • Con x = t + 1, es decir t = x - 1, reemplazando:
(x - 1)^3 + 3(x - 1)^2 + 6(x - 1) + 5 = 0 \,, y desarrollando, se obtiene la ecuación en forma reducida x^3 + 3x + 1 = 0 \,.
  • x = u + v, U = u³, V = v³ y se impone U + V = - 1 y UV = - 1. U y V son las raíces de X² + X - 1 = 0.
  • Se despeja U, V y t.
U = \frac {-1 - \sqrt {5}} {2} \, y V = \frac {-1 + \sqrt {5}} {2} \,, luego u = \sqrt[3]{\frac {-1 - \sqrt {5}} {2}} \, y v = \sqrt[3]{\frac {-1 + \sqrt {5}} {2}} \,.
Por lo tanto
t = x - 1 = u + v - 1 = \sqrt[3]{\frac {-1 - \sqrt {5}} {2}} + \sqrt[3]{\frac {-1 + \sqrt {5}} {2}} - 1 \approx -1,3221853546

Métodos numéricos[editar]

En ecuaciones más complicadas, los métodos simples de solución de ecuaciones puede ser no sean apropiados. En ciertos casos, se puede usar un algoritmo de búsqueda de raíces para encontrar la solución numérica a una ecuación, que en ciertos casos es más que suficiente para resolver algunos problemas.

Series de Taylor[editar]

Un área de la matemáticas se ha enfocado en la creación de alguna función más simple para aproximar a una función compleja, en las cercanías o entorno de un dado punto. En efecto, se pueden utilizar polinomios en una o varias variables para aproximar funciones - un ejemplo de estos polinomios son las series de Taylor.

Resolución de otras ecuaciones[editar]

Se debe notar que es posible crear ecuaciones aún más complicadas, mediante el uso de operadores diferenciales, matrices, y otros operadores matemáticos. En todos estos casos se mantiene el principio de que la resolución de la ecuación es la búsqueda de los valores que hacen que la ecuación se satisfaga, solo que dependiendo de los operadores matemáticos involucrados será necesario utilizar diferentes estrategias o métodos para resolver las ecuaciones.

Véase también[editar]