Ecuación exponencial

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2^x+3^x=52\,\;
Ecuación exponencial

Se denomina ecuación exponencial aquella en la cual la incógnita aparece únicamente en los exponentes de potencias para ciertas bases constantes.[1] La incógnita se halla en un exponente de un o unos de los términos. Es decir, un número (u otra variable) está elevada a la incógnita a despejar, comúnmente representada por x. Para resolver dichas ecuaciones se recurren a las propiedades de la potenciación, radicación, de logaritmos y cambio de la incógnita por otra.

Formas de resolución[editar]

Depende del tipo de ecuación exponencial del que se trate, hay diversas formas de resolverla, por su nivel de complejidad. Las más fáciles son por simple inspección, es decir se descompone la parte numérica en sus factores primos y aplicando logaritmo a ambos lados de la igualdad. A continuación se brindan algunos ejemplos.

Igualación de bases[editar]

Sea la ecuación del siguiente ejemplo:

2^{x + 1} = 16\,

Si el primer miembro sólo tiene un término y el término del segundo miembro es potencia de la base del término del primer miembro, entonces el segundo miembro, se expresa como potencia de la base de la expresión que contiene la incógnita. En el ejemplo 16 es potencia de la base dos de 2^{x + 1}.

2^{x + 1} = 2^4\,

Luego, por la siguiente propiedad: a^x = a^y \Rightarrow x = y\,, tenemos: x + 1 = 4\,

x = 4 - 1\,
x = 3\,
  • Un ejemplo algo variado
42x-1 = 2x

Puesto que 4 = 22 en la ecuación dada resulta

22(2x-1) = 2x

Finamente, resolviendo 2(2x-1) = x, se obtiene x = 2/3.

Cambio de variables[editar]

Sea la ecuación exponencial del ejemplo:

2 \cdot 7^{x + 2} + 7^x = 33957\,

Vamos a escribirla así:

2 \cdot (7^x) \cdot 7^2 + (7^x) = 33957

Aplicamos el cambio de variable, y escribimos:

7^x = a\,

Ahora, al reemplazar, se tiene:

2a \cdot 49 + a = 33957\,

Despejamos a\,:

99a = 33957\,

a = \frac{33957}{99}\,

a = 343\,

Ahora, recordemos que a = 7^x\,, luego:

343 = 7^x\,

7^3 = 7^x\,

3 = x\,

Pasando a una algebraica[editar]

Resolver la ecuación[2]

2·9x - 3x+1 -2 = 0

Puesto que la ecuación propuesta puede ser escrita en la forma

2·(3x)2 - 3·3x - 2 = 0

Luego con la sustitución y = 3x, se tiene respecto a y la ecuación algebraica de segundo grado

2y2 - 3y -2 = 0.

Resolviendo resulta y = 2; y = -1/2. La última solución es imposible, pues 3x > 0. En tal caso 3x = 2;

x = log32 = ln2  : ln3 = 0.6309 ( logaritmos naturales);

Usando logaritmos[editar]

Sea la ecuación:

4^{x + 1} \cdot 8^x = 4096\,

Usamos logaritmo a ambos lados de la ecuación:

\log_{2} (4^{x + 1} \cdot 8^x) = \log_{2} 4096

Por propiedades de los logaritmos, tenemos:

\log_{2} (4^{x + 1}) + \log_{2} (8^x) = \log_{2} 4096

(x + 1) \cdot \log_{2} 4 + x \cdot \log_{2} 8 = \log_{2} 4096\,

Operando:

(x + 1) \cdot 2 + x \cdot 3 = 12\,

2x + 2 + 3x = 12\,

5x = 10\,

De donde sale:

x = 2\,

Otra manera de resolver[editar]

Sea la ecuación 4x+1·8x = 4096, pasando las bases de potencia: 4 y 8 a potencias de 2, como también 4096 = 212, se tiene

22x+2·23x = 212, igualando los exponentes, resulta
(2x +2) + 3x = 12, finalmente
5x = 10; por tanto x = 2.

Ecuaciones exponenciales más complejas[editar]

Cuando la incógnita se encuentra en el índice de una raíz, también se la considera exponencial, ya que sólo basta escribirla como exponente fraccionario. Sea la ecuación:

 \sqrt[3x + 1]{2^{x + 2}} = 8

Vemos que la variable se encuentra también en el exponente de una raíz. Por las propiedades de la radicación, vamos a escribirla así:

2^{ \frac {x + 2}{3x + 1}} = 8\,

Aplicamos el método de igualación de bases:

2^{ \frac {x + 2}{3x + 1}} = 2^3\,

O sea:

 \frac {x + 2}{3x + 1} = 3\,

Operando, obtenemos:

x = - \frac {1}{8}\,

Otras aplicaciones de las ecuaciones exponenciales[editar]

Veamos esta ecuación:

1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^x = 1023

Vemos que se trata de una progresión geométrica. Para resolver esta ecuación no hay más que aplicar la fórmula para calcular la suma de los n términos de una progresión geométrica, sabiendo que dicha progresión tiene 5 términos. Así:

 S_n = \cfrac { a_n r - a_1 } { r - 1 }

Se convierte en:

1023 = \frac {2^x \cdot 2 - 1}{2 - 1}

O sea:

1023 = 2^x \cdot 2 - 1

1024 = 2^x \cdot 2

512 = 2^x\,

Igualando las bases:

2^9 = 2^x\,

De donde sale:

9 = x\,

El mismo razonamiento es aplicable para cualquier progresión geométrica.

El interés compuesto[editar]

Si C representa el capital invertido a una tasa de r por ciento anual, y m denota el número de veces al año que se acumula el interés, entonces el monto acumulado M después de x años, se calcula mediante la fórmula:[3]

M = C(1+r/m)mx

El valor de x se evalúa mediante logaritmos.

También en el caso de la desintegración de cierto material radiactivo, se cumple la fórmula:

Q = Q0·10-kt

donde Q está en gramos; t, en años, Q0 también en gramos y k una constante de variación de la cantidad de sustancia con respecto a la masa de la sustancia.[4]

Función exponencial[editar]

Las ecuaciones exponenciales también surgen cuando se quieren calcular raíces o puntos particulares de las funciones exponenciales. En la función exponencial f \colon \R \to \R \; / \; f(x) = 2^x\,, para saber en qué punto su gráfica corta al eje de ordenadas, se debe plantear la ecuación:

2^0 = x\,

Operando se llega a la conclusión de que x = 1\,.

Si se quiere saber en qué punto del eje de abscisas la gráfica interseca al eje de ordenadas en el punto 1, se plantea:

2^x = 1\,

x = 0\,

Otro ejemplo: Hallar el valor de x\, si tal que f(x)=12 si f(x)=3^x\,

3^x = 12\,

\log{3^x} = \log{12}\,

x = \frac{\log{12}} {\log{3}} \approx 2{,}262

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Manual de matemática (1985) Tsipkin; Editorial Mir, Moscú, traducción de Shapovalova, pg. 170
  2. Álgebra y principios de análisis parte I (1981) Diigido por Yakovliev, Editorial Mir, MoscúTraducido por Samojválov, pg. 208
  3. Algebra moderna y trigonometría (198) Dolciani con Berman y Wooton, Publicaciones Cultural, S.A. México D.F. pg.,361
  4. Ibídem, pg. 364