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La imagen inversa , antiimagen o contraimagen de una aplicación es la aplicación que a cada subconjunto del conjunto final de la aplicación le hace corresponder el conjunto de elementos del conjunto inicial cuya imagen se encuentra en este conjunto.[ 1]
Sea
f
:
A
⟶
B
{\displaystyle \textstyle f:{\mbox{A}}\longrightarrow {\mbox{B}}}
Y
⊂
B
{\displaystyle \textstyle {\mbox{Y}}\subset {\mbox{B}}}
Y
{\displaystyle \textstyle Y}
f
−
1
(
Y
)
=
{
x
∈
A
|
∃
y
∈
Y
,
f
(
x
)
=
y
}
{\displaystyle f^{-1}(Y)\quad =\quad \lbrace \quad x\in A\quad |\quad \exists y\in Y\quad ,\quad f(x)=y\quad \rbrace }
Propiedades [ editar ] La imagen inversa resulta ser compatible con todas las operaciones con conjuntos:
∀
Y
,
Z
⊂
B
f
−
1
(
Y
∪
Z
)
=
f
−
1
(
Y
)
∪
f
−
1
(
Z
)
{\displaystyle \forall Y,Z\subset {\mbox{B}}\quad f^{-1}({\mbox{Y}}\cup {\mbox{Z}})=f^{-1}({\mbox{Y}})\cup f^{-1}({\mbox{Z}})}
Intersección [ editar ]
∀
Y
,
Z
⊂
B
f
−
1
(
Y
∩
Z
)
=
f
−
1
(
Y
)
∩
f
−
1
(
Z
)
{\displaystyle \forall Y,Z\subset {\mbox{B}}\quad f^{-1}({\mbox{Y}}\cap {\mbox{Z}})=f^{-1}({\mbox{Y}})\cap f^{-1}({\mbox{Z}})}
∀
Y
⊂
B
f
−
1
(
B
−
Y
)
=
A
−
f
−
1
(
Y
)
{\displaystyle \forall Y\subset {\mbox{B}}\quad f^{-1}({\mbox{B}}-{\mbox{Y}})={\mbox{A}}-f^{-1}({\mbox{Y}})}
Diferencia de conjuntos [ editar ]
∀
Y
,
Z
⊂
B
f
−
1
(
Y
−
Z
)
=
f
−
1
(
Y
)
−
f
−
1
(
Z
)
{\displaystyle \forall {\mbox{Y}},{\mbox{Z}}\subset {\mbox{B}}\quad f^{-1}({\mbox{Y}}-{\mbox{Z}})=f^{-1}({\mbox{Y}})-f^{-1}({\mbox{Z}})}
Aplicaciones [ editar ] La imagen inversa se usa frecuentemente en topología y teoría de la medida .
Referencias [ editar ]
↑ Introducción a la teoría de conjuntos y a la topología. Kazimierz Kuratovwsi. Vicens Universidad.
↑ Dugundji, James (1966). Topology 
Datos: Q5637899