Poliedro
Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. La palabra poliedro viene del griego clásico πολύεδρον (polyedron), de la raíz πολύς (polys), «muchas» y de έδρα (edra), «base», «asiento», «cara».
Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el punto o vértice es el semejante topológico del poliedro en cero dimensiones, una arista o segmento lo es en 1 dimensión, el polígono para 2 dimensiones; y el polícoro el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos, por lo que podemos definir un poliedro como un polítopo tridimensional.
Definición
Se llama poliedro a todo cuerpo acotado, limitado por un número finito de superficies planas.[1]
Se demuestra que las superficies planas que limitan un poliedro son polígonos.[2]
Un poliedro convexo es un poliedro P, que a su vez es un conjunto convexo; es decir si contiene dos puntos A y B, incluye al segmento que ellos determinan.[3]
Denominación de los poliedros
Los poliedros son denominados de acuerdo a su número de caras. Su designación se basa en el griego clásico. Por ejemplo tetraedro (4-caras), pentaedro (5), hexaedro (6), heptaedro (7), ... icosaedro (20) - icosa es 20 en griego clásico -, etc.
Frecuentemente un poliedro se califica por una descripción del tipo de caras presentes en él. Si todas sus caras son iguales y además todos los ángulos poliedros son iguales, se les denomina poliedro regular. Por ejemplo, el dodecaedro regular o dodecaedro pentagonal frente al dodecaedro rómbico.
Otras denominaciones comunes indican que alguna operación se ha efectuado en un poliedro más simple que lo ha transformado en el actual. Por ejemplo el cubo truncado, que semeja un hexaedro (cubo) con sus esquinas truncadas o recortadas. Tiene por lo tanto 14 caras, y en este caso no es regular ya que de sus caras, seis tienen forma de octógono regular y ocho de triángulo equilátero.
Criterios de clasificación de los poliedros
Los poliedros pueden ser clasificados en muchos grupos según la familia de donde provienen o de las características que los diferencian; según sus características, se distinguen:
- Convexos, como el cubo, o el tetraedro, cuando cualquier par de puntos del espacio que estén dentro del cuerpo los une un segmento de recta también interno. En el caso de que dicho segmento se salga del cuerpo se dice que son poliedros cóncavos, como es el caso del toroide facetado y los sólidos de karim.
- Poliedro de caras regulares, cuando todas las caras del poliedro son polígonos regulares.
- Poliedro de caras uniformes, cuando todas las caras son iguales.
- Se dice poliedro de aristas uniformes cuando los pares de caras que se reúnen en cada arista son iguales.[cita requerida]
- Se dice poliedro de vértices uniformes cuando en todos los vértices del poliedro convergen el mismo número de caras y en el mismo orden.
- Se dice poliedro regular o regular y uniforme, como el tetraedro o el icosaedro, cuando es de caras regulares, de caras uniformes, de vértices uniformes y de aristas uniformes.
Estos grupos no se excluyen entre sí, es decir, un poliedro puede pertenecer a varias categorías.
Clasificación según el número de caras
| Nombre | Número de caras |
|---|---|
| tetraedro | 4 |
| pentaedro | 5 |
| hexaedro | 6 |
| heptaedro | 7 |
| octaedro u octoedro | 8 |
| eneaedro o nonaedro | 9 |
| decaedro | 10 |
| endecaedro o undecaedro | 11 |
| dodecaedro | 12 |
| tridecaedro | 13 |
| tetradecaedro o tetracaidecaedro | 14 |
| pentadecaedro o pentedecaedro | 15 |
| hexadecaedro | 16 |
| heptadecaedro | 17 |
| octadecaedro u octodecaedro | 18 |
| eneadecaedro o nonadecaedro | 19 |
| icosaedro o isodecaedro | 20 |
| icosamonoedro | 21 |
| icosadiedro | 22 |
| icosatetraedro | 24 |
| icosaoctaedro o icosaoctoedro | 28 |
| triacontaedro | 30 |
| tricontidiedro | 32 |
| tricontihexaedro | 36 |
| tetracontaedro | 40 |
| pentacontaedro | 50 |
| pentacontamonoedro | 51 |
| pentacontadiedro | 52 |
| hexacontaedro | 60 |
| heptacontaedro | 70 |
| heptacontadiedro | 72 |
| octacontaedro u octocontaedro | 80 |
| eneacontaedro o nonacontaedro | 90 |
| hectaedro | 100 |
| chiliedro | 1000 |
| miriedro | 10000 |
| decemiriedro | 100000 |
| hectamiriedro o megaedro | 1000000 |
| googoloedro | 10100 |
| enoedro | n |
Familias de poliedros
Poliedros regulares
Se dice que un poliedro regular es aquel que tiene caras y ángulos iguales, por ejemplo un cubo o hexaedro (seis caras). El cubo posee seis polígonos con lados iguales con la misma longitud, estos a su vez se unen en vértice con ángulos de 90º grados. También eran conocidos antiguamente y son conocidos aún, como Sólidos platónicos.
Sólidos platónicos
Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Solo existen cinco de ellos: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. El nombre del grupo proviene del hecho de que los griegos adjudicaban a cada uno de estos cuerpos uno de los «elementos fundamentales»: tierra, agua, aire y fuego, y el restante, al dodecaedro, la divinidad. Los sólidos platónicos son el inicio del estudio de los poliedros; de estos se derivan los sólidos de Arquímedes y los de Kepler-Poinsot, que a su vez generan más familias.
Poliedros irregulares
Se dice que un poliedro irregular es aquel que tiene caras o ángulos desiguales.
Sólidos arquimedianos
Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son poliedros convexos de caras regulares y vértices uniformes, pero no de caras uniformes. Fueron ampliamente estudiados por Arquímedes. Algunos se obtienen truncando los sólidos platónicos; son trece: el tetraedro truncado, el cuboctaedro, el cubo truncado, el octaedro truncado, el rombicuboctaedro, el cuboctaedro truncado, el cubo romo, el icosidodecaedro, el dodecaedro truncado, el icosaedro truncado, el rombicosidodecaedro, el dodecaedro romo y el icosidodecaedro truncado.
Prismas y antiprismas
Los prismas y los antiprismas son los únicos poliedros convexos y uniformes restantes. Todos ellos fueron estudiados por Kepler, quien los clasificó. Los prismas y antiprismas son grupos infinitos.
Todos los prismas se construyen con dos caras paralelas llamadas directrices, que le dan el nombre al prisma, y una serie de paralelogramos, tantos como lados tenga la cara directriz. Por ejemplo, el prisma cuyas caras directrices son triangulares se llama prisma triangular y se compone de dos triángulos y tres paralelogramos; tiene nueve aristas y seis vértices de orden 3 donde convergen siempre dos paralelogramos y un triángulo. Otro ejemplo sería el prisma decagonal, que se compone de dos decágonos + diez paralelogramos; tiene 30 aristas y 20 vértices de orden 3.
Los antiprismas tienen una construcción parecida, dos caras paralelas y una serie de triángulos; el número de lados de las cara directriz multiplicado por dos; así, el antiprisma cuadrado se compone de dos cuadrados y ocho triángulos; tiene ocho vértices y 16 aristas.
Otras familias de poliedros
Sólidos de Johnson
Son un grupo extenso que contiene los poliedros convexos, de caras regulares restantes; solo uno de ellos es uniforme y fueron clasificados y ampliamente estudiados por Norman Johnson.
Los sólidos de Johnson son en total 92 y entre ellos se enumeran:
Este grupo consiste en los duales de los prismas y antiprismas, respectivamente; por ende, también es un grupo infinito. Son poliedros de caras uniformes pero no son de caras regulares, ni de vértices uniformes, ni de aristas uniformes.
Condiciones de congruencia
Para que se dé la congruencia de dos o más triángulos, se requiere que sus lados respectivos sean congruentes, es decir que tengan la misma medida. Esta condición implica que los ángulos respectivos también tienen la misma medida o son congruentes. Las figuras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes. Para corroborar que dos triángulos son congruentes se debe asegurar la congruencia de todos los lados de uno con todos los lados correspondientes del otro y la congruencia de todos los ángulos de uno con todos los ángulos correspondientes del otro.
Criterios de congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos también lo son. Sin embargo, puede demostrarse la congruencia de dos triángulos si se sabe que algunas de sus partes correspondientes son homólogas. Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan criterios de congruencia, los cuales son:
- Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro, entonces los triángulos son congruentes.
- Criterio LAL: Si los lados que forman un ángulo, y este, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
- Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
- Criterio LLA: Si dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos es respectivamente congruente, entonces son congruentes.
Sólidos de Catalan
Se obtienen logrando el dual de los sólidos de Arquímedes; el dual es básicamente el reemplazo de una cara por un vértice y viceversa. Por ejemplo, el dual del icosaedro (20 caras y 12 vértices) es el dodecaedro (12 caras y 20 vértices) y el dual del dodecaedro es el icosaedro. No son de caras regulares y no todos son de caras uniformes.
Entre los sólidos de Catalan se encuentran el triaquistetraedro, el rombododecaedro, el triaquisoctaedro, el tetraquishexaedro, el icositetraedro deltoidal, el hexaquisoctaedro, el icositetraedro pentagonal, el triacontaedro rómbico, el triaquisicosaedro, el pentaquisdodecaedro, el hexecontaedro deltoidal, el hexaquisicosaedro y el hexecontaedro pentagonal. Trece en total.
Deltaedros
Se llama deltaedros a los cuerpos que solo están formados por triángulos equiláteros; no constituyen un grupo excluyente de sólidos: del grupo de los Sólidos platónicos se encuentran el Tetraedro, el Octaedro, Icosaedro y del grupo de los Sólidos de Johnson están la Bipirámide triangular, la Bipirámide pentagonal, la Bipirámide cuadrada giroelongada, el Biesfenoide romo y el Prisma triangular triaumentado.
Referencias y notas
- ↑ Calmaestra, Luis Barrios (2019). Matemáticas Académicas 3º ESO (2019). Editex. ISBN 978-84-9161-907-9. Consultado el 28 de noviembre de 2019.
- ↑ Trejo/ Bosch. «Matemática moderna primer curso ». Eudeba, Buenos Aires (1966)
- ↑ Trejo/ B0sch. Op. cit
Véase también
Bibliografía
- Quince Salas, Ricardo. Propiedades elementales de los poliedros regulares. Santander: [s.n.], 1974. 17 p. Comunicación presentada a las Reuniones sobre Geometría aplicada a la Arquitectura y a la Ingeniería Civil.
- Quince Salas, Ricardo. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Teoría y ejercicios. Santander: Escuela Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, [s.a.]. 202 p.
- Quince Salas, Ricardo. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Tomo 2: soluciones. Santander: Escuela Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, [s.a.]. 124 p.
Enlaces externos
Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Poliedro.- Poliedros regulares e irregulares (en gallego)
- Poliedros: Modelos de Papel
- Jardín del poliedro
