Anexo:Glosario de teoría de anillos

La teoría de anillos es una rama de las matemáticas en las cuales son estudiadas los anillos: esto es, estructuras que soportan una suma y una multiplicación juntas. Este es un glosario de algunos términos de la materia.

Definición de anillo[editar]

anillo: Un anillo es un conjunto $R$ con dos operaciones binarias, usualmente llamadas suma (+) y multiplicación (x), de modo que $R$ sea un grupo abeliano bajo suma, $R$ es un monoide bajo multiplicación, y la multiplicación es al mismo tiempo, por derecha y por izquierda, distributiva sobre suma. Los anillos son asumidos a tener identidades multiplicativas a no ser que se indique lo contrario. La identidad aditiva está denotada por un 0 y la multiplicativa por 1, (Cuidado: algunos libros, especialmente los libros viejos, utilizan el término "anillo" para referirse a lo que aquí será llamado pseudoanillo; ej. estos no necesitan que un anillo tenga identidad multiplicativa).

subanillo: Un subconjunto $S$ del anillo $(R,+,x)$ permanece a un anillo cuando $+$ y $x$ se limitan a $S$ y contiene la identidad multiplicativa 1 de $R$ , es llamado un subanillo de $R$ .

Tipos de elementos[editar]

asociados: En un anillo conmutativo, un elemento $a$ es llamado asociado de un elemento $b$ si $a$ divide a $b$ y viceversa.

central: Un elemento $r$ de un anillo $R$ es central si $xr=rx$ para toda $x$ en $R$ . El conjunto de todos los elementos centrales forman un subanillo de $R$ , conocido como el centro de $R$ .

divisor: En un dominio de integridad $R$ , un elemento $a$ es llamado divisor de un elemento $b$ (y decimos que $a$ divide a $b$ ) si existe un elemento $x$ en $R$ con $ax=b$ .

idempotente: Un elemento $r$ de un anillo es idempotente si $r^{2}=r$ .

integral: Para un anillo conmutativo $B$ conteniendo a un subanillo $A$ , un elemento $b$ es integral sobre $A$ si satisface un polinomio mónico con coeficientes de $A$ .

irreducible: Un elemento $x$ de un dominio de integración es irreducible si no es una unidad y para cada elementos $a$ y $b$ de forma que $x=ab$ , ya sea que $a$ o $b$ sea una unidad. Nótese que cada elemento primo es irreducible, pero no necesariamente viceversa.

primo: Un elemento $x$ de un dominio de integración es un elemento primo si no es ni cero ni una unidad cuando $x$ divide a un producto $ab$ , $x$ divide $a$ o $x$ divide $b$ .

nilpotente: Un elemento $r$ de $R$ es nilpotente si existe un entero positivo $n$ de forma que $r^{n}=0$ .

unidad o elemento invertible: Un elemento $r$ del anillo $R$ es una unidad si existe un elemento $r^{-}1$ de modo que $rr^{-1}=r^{-1}r=1$ . Este elemento $r^{-}1$ está únicamente determinado por $r$ y es llamado el inverso multiplicativo de $r$ . El conjunto de unidades forman un grupo bajo multiplicación.

elemento regular de von Neumann: Un elemento $r$ de un anillo $R$ es el elemento regular de von Neumann si existe un elemento $x$ de $R$ de forma que $r=rxr$ .

divisor de cero: Un elemento $r$ de $R$ es un divisor de cero por la izquierda si existe un elemento $x$ diferente de cero en $R$ de forma que $rx=0$ y un divisor de cero por la derecha o si existe un elemento $y$ diferente de cero en $R$ de forma que $yr=0$ . Un elemento $r$ de $R$ es llamado un divisor por cero doble si es divisor de cero tanto por la izquierda como la derecha.

Homomorfismos e ideales[editar]

ideal finitamente generado: Un ideal por la izquierda $I$ es finitamente generado si existen finitamente varios elementos $a_{1},...,a_{n}$ de forma que $I=Ra_{1}+...+Ra_{n}$ . Un ideal por la derecha $I$ es finitamente generado si existen finitamente varios elementos $a_{1},...,a_{n}$ de forma que $I=a_{1}R+...+a_{n}R$ .

ideal: Un ideal por la izquierda $I$ de $R$ es un subgruop de $R$ de forma que $ai\subseteq I$ para cada $a\in R$ . Un ideal por la derecha es un subgrupo de $R$ de modo que $Ia\subseteq I$ para cada $a\in R$ . Un ideal (a veces llamado un ideal por los dos lados o ideal doble) es un subgrupo el cual es tanto un ideal por la izquierda como por la derecha.

radical de Jacobson: La intersección de todos los ideales por la izquierda mácimos en un anillo forman un ideal doble, el radical de Jacobson del anillo.

núcleo del homomorfismo del anillo: El núcleo del homomorfismo del anillo $f:R\to S$ es el conjunto de todos los elementos $x$ de $R$ de forma que $f(x)=0$ . Cada ideal es el núcleo del homomorfismo del anillo y viceversa.

ideal máximo: Un ideal por la izquierda $M$ del anillo $R$ es un ideal máximo por la izquierda si $M\neq R$ y los únicos ideales por la izquierda conteniendo a $M$ son $R$ y $M$ mismos. Los ideales máximos por la derecha están definidos similarmente. En anillos conmutativos, no hay diferencia, y uno simplemente habla de ideales máximos.

ideal nil: Un ideal es nil si consiste solo de elementos nilpotentes.

ideal nilpotente: Un ideal $I$ es nilpotente si la potencia $I^{k}=0$ para algún entero positivo $k$ . Cada ideal nilpotente es nil, pero el opuesto no es generalmente verdadero.

nilradical: El conjunto de todos los elementos nilpotentes en un anillo conmutativo forman un ideal, el nilradical del anillo. El nilradical es igual a la intersección de todos los ideales primos del anillo. Está contenido en, pero en generalmente no es igual, al radical de Jacobson del anillo.

ideal primo: Un ideal $P$ en un anillo conmutativo $R$ es primo si $P\neq R$ y si para cada $a$ y $b$ en $R$ con $ab$ en $P$ , tenemos $a$ en $P$ o $b$ en $P$ . Cada ideal máximo en un anillo conmutativo es primo. También hay una definición para el ideal primo en anillos no conmutativos.

ideal principal: Un ideal principal por la izquierda en un anillo $R$ es un ideal por la izquierda de la forma $Ra$ para algún elemento $a$ de $R$ . Un ideal principal por la derecha es un ideal por la derecha de la forma $aR$ para algún elemento $a$ de $R$ . Un ideal principal es un ideal doble de la forma $RaR$ para algún elemento $a$ de $R$ .

anillo cociente o anillo factor: Dado un anillo $R$ y un idael $I$ de $R$ , el anillo cociente es el anillo formado por el conjunto $R/I$ de la clase lateral $\{a+I:a\in R\}$ junto a las operaciones $(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$ y $(a+I)(b+I)=ab+I$ . La relación entre los ideales, homomorfismos y anillos factor está resumida en el teorema fundamental de homomorfismos.

radical de un ideal: El radical de un ideal $I$ en un anillo conmutativo consiste de todos esos elementos del anillo con un poder el cual tiende a $I$ . Es igual a la intersección de todos los ideales primos conteniendo a $I$ .

homomorfismo de anillos

Una función

f:R\to S

entre anillos

(R,+,*)

y

(S,\oplus ,x)

es un homorfismo de anillos si satisface que

f(a+b)=f(a)\oplus f(b)

f(a*b)=f(a)xf(b)

f(1)=1

para todos los elementos

a

y

b

de

R

.

monomorfismo de anillos: Un homomorfismo de anillos que es inyectivo es un monomorfismo de anillos.

isomorfismo de anillos: Un homomorfismo de anillos que es biyectivo es un isomorfismo de anillos. El inverso de un isomorfismo de anillos es también un isomorfismo de anillos. Dos anillos son isomórficos si existe un isomorfismo de anillos entre ellos. Los anillos isomórficos pueden ser pensados como ser esencialmente lo mismo, solo con diferentes etiquetas en los elementos individuales.

ideal trivial: Cada anillo $R$ que no sea cero está garantizado que tenga dos ideales: el ideal cero y el anillo entero $R$ . A estos ideales usualmente se les refiere como ideales triviales. Ideales por la derecha, por la izquierda y por ambos lados distintos a estos son llamados no triviales.

Tipos de anillos[editar]

Anillo abeliano: Un anillo en el cual todos los elementos idempotentes son centrales es llamado abeliano. Estos anillos necesitan no ser conmutativos.

anillo artiniano: Un anillo que satisface la condición de la cadena descendiente para los ideales por la izquierda es un artiniano por la izquierda; si satisface la condición de la cadena descendiente para los ideales por la derecha, es un artiniano por la derecha; si es artiniano tanto por la derecha como por la izquierda, es sencillamente llamado artiniano. Los anillos artinianos son noetherianos.

anillo booleano: Un anillo en el cual todos los elementos son elementos idempotentes multiplicativos es un anillo booleano.

anillo conmutativo: Un anillo $R$ es conmutativo si la multiplicación es conmutativa, ej. $rs=sr$ para cada $r,s\in R$ .

dominio de Dedekind: Un dominio de Dedekind es un dominio de integración en el cual cada ideal tiene una factorización única en ideales primos.

anillo de división o cuerpo no conmutativo: Un anillo en el cual cada elemento distinto a cero es una unidad y $1\neq 0$ es un anillo de división.

dominio: Un dominio es un anillo diferente de cero sin divisores de cero, a excepción del 0. Esta es la generalización no conmutativa del dominio de integridad.

dominio euclídeo: Un dominio euclídeo es un dominio de integridad en el cual una función de grado está definida para que la "división con resto" pueda ser llevada a cabo. Lleva este nombre debido a que el algoritmo de Euclides es un algoritmo bien definido en estos anillos. Todos los dominios euclídeos son dominios de ideales principales.

cuerpo o campo: Un cuerpo es un anillo de división conmutativo. Cada anillo de división finito es un cuerpo, como es cada dominio de integridad finito.

anillo finitamente generado: Un anillo que es finitamente generado como una $Z-$ álgebra.

álgebra finitamente presentada: Si $R$ es un anillo conmutativo y $A$ es una $R-$ álgebra, entonces $A$ es una $R-$ álgebra finitamente presentada si es un cociente de un anillo de polinomios sobre $R$ en varias variables finitas por un ideal finitamente generado.^[1]

anillo hereditario: Un anillo es hereditario por la izquierda si sus ideales por la izquierda son todos módulos proyectivos. Los hereditarios por la derecha están definidos análogamente.

dominio de integridad o anillo entero: Un anillo conmutativo diferente de cero sin divisores de cero a excepción del 0.

número de base invariante: Un anillo $R$ tiene un número de base invariante si $R^{m}$ isomórfico a $R^{n}$ como $R-$ módulos implica que $m=n$ .

anillo local: Un anillo con un ideal máximo por la izquierda único es un anillo local. Estos anillos también poseen un ideal máximo por la izquierda también único, y los ideales máximos por la izquierda y la derecha coinciden. Ciertos anillos conmutativos pueden ser incrustados en anillos locales por localización en un ideal primo.

anillo noetheriano: Un anillo que satisface la condición de la cadena ascendente para ideales por la izquierda es noetheriano por la izquierda; un anillo que satisface la condición de la cadena ascendiente para ideales por la derecha es noetheriano por la derecha; si es noetheriano tanto por la derecha y por la izquierda se le llama simplemente noetheriano. Un anillo es noetheriano por la izquierda si y solo si todos sus ideales por la izquierda son finitamente generados; análogamente para anillos noetherianos por la derecha.

anillo nulo: Véase pseudoanillo.

anillo perfecto: Un anillo perfecto por la izquierda es aquel que satisface la condición de la cadena descendiente en ideales principales por la derecha. También son caracterizados como anillos cuyos módulos planos por la izquierda son todos módulos proyectivos. Los anillos perfectos por la derecha están definidos análogamente. Los anillos artinianos son perfectos.

anillo primo: Un anillo distinto de cero $R$ es llamado anillo primo si para cada dos elementos $a$ y $b$ de $R$ cualesquiera con $aRb=0$ , tenemos ya sea $a=0$ o $b=0$ . Esto es equivalente a decir que el ideal cero es un ideal primo. Cada anillo simple y cada dominio es un anillo primo.

anillo primitivo: Un anillo primitivo por la izquierda es un anillo que tiene un $R-$ módulo por la izquierda simple fiel. Cada anillo simple es primitivo, y los anillos primitivos son primos.

dominio de ideales principales: Un dominio de integración en el cual cada ideal principal es un dominio de ideales principales. Cada dominio de ideal principal son dominios de factorización única.

anillo quasi-Frobenius: Un tipo especial de anillo artiniano el cual es también un anillo autoinyectivo por los dos lados. Cada anillo semisimple es quasi-Frobenius.

pseudoanillo de cuadrado cero: Un pseudoanillo en el cual $xy=0$ para cada $x$ e $y$ . Estos son a veces llamados anillos nulos, aunque usualmente no poseen un 1.

anillo autoinyectivo: Un anillo $R$ es autoinyectivo por la izquierda si el módulo $_{R}R$ es un módulo inyectivo. Mientras que los anillos con unidad son siempre proyectivos como módulos, no son siempre inyectivos como módulos.

anillo semiprimitivo o anillo semisimple de Jacobson: Este es un anillo el cual su radical de Jacobson es cero. Los anillos regulares de von Neumann y los anillos primitivos son semiprimitivos, sin embargo, los anillos quasi-Frobenius y los anillos locales no son generalmente semiprimitivos.

anillo semisimple: Un anillo semisimple es un anillo $R$ que tiene una "buena" descomposición, en el sentido de que $R$ es un módulo semisimple por el $R-$ módulo por la izquierda. Cada anillo semisimple es también artiniano, y no tiene ideales nilpotentes. El teorema de Artin-Wedderburn afirma que cada anillo semisimple es un producto finito de anillos de matrices completos sobre anillos de división.

anillo simple: Un anillo diferente de cero el cual solo tiene ideales dobles triviales (el ideal cero, el anillo mismo, y ninguno más) es un anillo simple.

anillo trivial: El anillo que consiste de un elemento singular $0=1$ , también llamado anillo nulo.

dominio de factorización única o anillo factorial: Un dominio de integridad $R$ en el cual cada no unidad distinta de cero puede ser escrita como el producto de los elementos primos de $R$ . Esto, esencialmente, significa que cada no unidad distinta de cero puede ser escrita únicamente como el producto de dos elementos irreducibles.

anillo regular de von Neumann: Un anillo para el cual cada elemento $a$ puede ser expresado como $a=axa$ para otro elemento $x$ en el anillo. Los anillos semisimples son regulares de von Neumann.

anillo nulo: El anillo que consiste solo de un elemento singular $0=1$ , también llamado anillo trivial. Algunas veces, el término "anillo nulo" es alternativamente utilizado para nombrar al pseudoanillo de cuadrado cero.

Construcción de anillos[editar]

producto directo de una familia de anillos: Esta es una forma para construir un nuevo anillo a partir de anillos dados, tomando el producto cartesiano de los anillos dados y definiendo las operaciones algebraicas de componentes incomparables.

anillo de endomorfismo: Un anillo formado por los endomorfismos de una estructura algebraica. Usualmente su multiplicación es tomada para ser una función compuesta, mientras que su suma es adición puntual de las imágenes.

localización: Para anillos conmutativos, una técnica para pasar un conjunto dado de elementos de un anillo a unidades. Se llama localización porque puede ser utilizado para hacer cualquier anillo dado en un anillo local. Para localizar un anillo $R$ , se toma un subconjunto cerrado multiplicativo $S$ sin contener divisores de cero, y formalmente definir sus inversos multiplicativos, los cuales deberán ser añadidos en $R$ . La localización en anillos no conmutativos es más complicada, y ha sido definida en gran cantidad de métodos diferentes.

anillo matriz: Dado un anillo $R$ , es posible el construir anillos matrices cuyas entradas vienen desde $R$ . Algunas veces, estos son anillos de matrices cuadradas, pero bajo ciertas condiciones también son posibles los "anillos de matrices infinitas". Los anillos de matrices cuadradas surgen como anillos de endomorfismo de módulos libres con rango finito.

anillo opuesto: Dado un anillo $R$ , su anillo opuesto $R^{o}p$ tiene el mismo conjunto subyacente que $R$ , la operación de suma está definida como en $R$ , pero el producto de $s$ y $r$ en $R^{o}p$ es $rs$ , mientras que el producto en $R$ es $sr$ .

línea proyectiva sobre un anillo: Dado un anillo $R$ , su línea proyectiva $P(R)$ provee el contexto para la transformación linear fraccional de $R$ .

Anillos de polinomios[editar]

Artículo principal: Anillo de polinomios

anillo de polinomio diferencial

anillo de serie formal de potencias

anillo del polinomio de Laurent

anillo monoide

anillo de polinomios

Dado un anillo conmutativo

R

. El anillo de polinomios

R[x]

está definido para ser el conjunto

\{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_{1}x+a_{0}|a_{n},a_{n-1},a_{n-2},\ldots ,a_{0}\in R\}

con una suma definida por

\left(\sum _{i}a_{i}x^{i}\right)+\left(\sum _{i}b_{i}x^{i}\right)=\sum _{i}(a_{i}+b_{i})x^{i}

, y con multiplicación definida por

\left(\sum _{i}a_{i}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j}b_{j}x^{j}\right)=\sum _{k}\left(\sum _{i,j:i+j=k}a_{i}b_{j}\right)x^{k}

.

Algunos resultados sobre las propiedades de

R

y

R[x]

:

Si $R$ es un DFU, también lo es $R[x]$ .
Si $R$ es noetheriano, también lo es $R[x]$ .

anillo de funciones racionales

anillo de polinomio oblicuo: dado un anillo $R$ y un endomorfismo $\sigma \in {\textrm {End}}(R)$ de $R$ . El anillo de polinomio oblicuo $R[x;\sigma ]$ está definido como el conjunto $\{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_{1}x+a_{0}|a_{n},a_{n-1},a_{n-2},\ldots ,a_{0}\in R\}$ con suma definida de la forma usual, y la multiplicación definida por la relación $xa=\sigma (a)x\;\forall a\in R$ .

Miscelánea[editar]

característica: La característica de un anillo es el entero más péqueño posible $n$ que satisface $nx=0$ para todos los elementos $x$ del anillo si existe tal $n$ . Si no, la característica es 0.

dimensión de Krull de un anillo conmutativo: El largo máximo de una cadena de ideales estrictamente incrementándose en el anillo.

Estructuras parecidas a un anillo[editar]

Las siguientes estructuras incluyen generalizaciones y otros objetos algebraicos similares a los anillos.

casi-anillo: Una estructura que es un grupo bajo suma, un semigrupo bajo multiplicación, y cuya multiplicación se distribuye en la derecha sobre la suma.

Pseudoanillo o rng: Una estructura algebraica que satisface las mismas propiedades que un anillo, a excepción de que la multiplicación no necesita tener un elemento de identidad. El término "rng" viene de un juego de palabras en inglés, "ring" significando anillo, e "identity" significando identidad, el juego de palabras se forma al quitar la letra i de la palabra "ring", ya que es un "ring" (anillo) sin "'identity" (identidad).

semianillo: Una estructura algebraica que satisface las mismas propiedades que un anillo, a excepción de que la suma necesita ser solo una operación de monoide abeliano, en lugar de una operación de grupo abeliano. Es decir, que los elementos en un semianillo necesitan no tener inversos de suma (o inversos aditivos).

Referencias[editar]

↑ Grothendieck, Alexander; Dieudonné, Jean (1964). «Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie». Publications Mathématiques de l'IHÉS (en francés) (Institut des hautes études scientifiques) 20. MR 0173675. doi:10.1007/bf02684747.

[1] Grothendieck, Alexander; Dieudonné, Jean (1964). «Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie». Publications Mathématiques de l'IHÉS (en francés) (Institut des hautes études scientifiques) 20. MR 0173675. doi:10.1007/bf02684747.

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