Teorema fundamental de homomorfismos

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En álgebra abstracta, para un número de estructuras algebraicas, el teorema fundamental de homomorfismos relaciona la estructura de dos objetos entre los cuales se dé un homomorfismo, y del núcleo y de la imagen del homomorfismo.

En la teoría de grupos, el teorema se puede formular así:

Si f:G\longrightarrow H es un homomorfismo de grupos y N es un subgrupo normal de G contenido en el núcleo de f, entonces existe un único homomorfismo \bar f tal que \bar f\circ\varphi=f, en donde \varphi:G\longrightarrow G/N es la proyección canónica. Así, tenemos el diagrama conmutativo siguiente
Teorema fundamental de homomorfismos diagrama conmutativo.svg

El homomorfismo \bar{f} está dado por

\bar f(gN)=f(g)

para todo g de G, y se dice que \bar f es inducido por f\,\!. Nótese que si gN = hN, entonces gh^{-1}\in N\subset \ker f, por lo que 1 = f(gh^{-1}) = f(g)f(h)^{-1}, así que f(g) = f(h) y el homomorfismo \bar{f} está bien definido.

El núcleo de este homomorfismo es \ker\bar f=(\ker f/N), y es un epimorfismo si y sólo si f lo es.

Si f:G\longrightarrow H es un homomorfismo, entonces f:G\longrightarrow \mathrm{im}\, f es un epimorfismo, y puesto que \bar{f} es inyectivo cuando su núcleo \ker\bar f = \ker f/N es trivial, lo que sucede si y sólo si \ker f = N, tenemos un isomorfismo G/\ker f \simeq \mathrm{im}\, f. Este caso particular del teorema fundamental de homomorfismos se conoce como primer teorema de isomorfía.

El teorema fundamental de homomorfismos también se cumple para los espacios vectoriales, anillos y módulos tomando, respectivamente, ideales y submódulos en lugar de subgrupos normales.

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]

Puede verse una demostración de este teorema en el wikilibro de Álgebra, Subgrupos normales.


Bibliografía[editar]

  1. Hungerford, T. Algebra. (1974) Springer-Verlag, New York.