Teorema fundamental de homomorfismos

En álgebra abstracta, para un número de estructuras algebraicas, el teorema fundamental de homomorfismos relaciona la estructura de dos objetos entre los cuales se dé un homomorfismo, y del núcleo y de la imagen del homomorfismo.

En la teoría de grupos, el teorema establece lo siguiente:

Si $f:G\longrightarrow H$ es un homomorfismo de grupos y N es un subgrupo normal de G contenido en el núcleo de f, entonces existe un único homomorfismo $\bar f$ tal que $\bar f\circ\varphi=f$, en donde $\varphi:G\longrightarrow G/N$ es la proyección canónica.

Por otra parte, h es inyectivo y proporciona un isomorfismo entre G/K y la imagen de f.

El homomorfismo $\bar f$ viene dado por

$\bar f(g)=f(g)$

para todo g de G, y se dice que $\bar f$ es inducido por $f\,\!$.

El teorema fundamental de homomorfismos también se cumple para los espacios vectoriales, anillos y módulos tomando, respectivamente, ideales y submódulos en lugar de subgrupos normales.

Además

1. $\bar f$ es un epimorfismo si y sólo si $f\,\!$ lo es.
2. $\ker\bar f=(\ker f/N)$
3. $\bar f$ es un monomorfismo si y sólo si ker f = N

El primer teorema de isomorfía de Noether son consecuencias prácticamente inmediatas de este teorema.

En términos de diagramas conmutativos

El teorema fundamental de homomorfismos puede expresarse también de la siguiente manera: si $f:G\longrightarrow H$ es un homomorfismo de grupos y N es un subgrupo normal de G contenido en el núcleo de f, entonces existe un único homomorfismo $\bar f$ que da lugar al diagrama conmutativo siguiente:

Véase también

• Homomorfismo de anillos
• Homomorfismo de grupos
• Homomorfismo

Enlaces externos

Puede verse una demostración de este teorema en el wikilibro de Álgebra, Subgrupos normales.