Condición de la cadena ascendente

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La condición de la cadena ascendente (ACC por sus siglas en inglés) y la condición de la cadena descendente (DCC) son propiedades de finitud satisfechas por algunas estructuras algebraicas, principalmente, ideales en ciertos anillos conmutativos.[1] [2] [3] Estas condiciones jugaron un papel importante en el desarrollo de la teoría de la estructura de anillos conmutativos en los trabajos de David Hilbert, Emmy Noether, y Emil Artin. Las condiciones, por sí mismas, pueden ser formuladas de manera abstracta, de modo que sean aplicables a cualquier conjunto parcialmente ordenado. Este punto de vista es útil en la teoría de dimensión algebraica abstracta de Gabriel y Rentschler.

Definición[editar]

Un conjunto parcialmente ordenado (o poset) P se dice que satisface la condición de la cadena ascendente (ACC) si ninguna cadena ascendente de elementos puede prolongarse indefinidamente. Equivalentemente, dada cualquier secuencia de elementos de P

a_1 \,\leq\, a_2 \,\leq\, a_3 \,\leq\, \cdots,

existe un entero positivo n tal que

a_n = a_{n+1} = a_{n+2} = \cdots.

Análogamente, se dice que P satisface la condición de la cadena descendente (DCC) si toda cadena descendente tiene siempre un último elemento. O, equivalentemente, para cada secuencia descendente

\cdots \,\leq\, a_3 \,\leq\, a_2 \,\leq\, a_1

existe un entero positivo n tal que

a_n = a_{n+1} = a_{n+2} = \cdots.

Comentarios[editar]

  • Una condición sutilmente distinta y más fuerte que "no contiene cadenas ascendentes/descendentes infinitas" es "no contiene cadenas ascendentes/descendentes arbitrariamente largas (opcionalmente, basadas en 'un elemento dado')". Por ejemplo, la unión disjunta de los posets {0}, {0,1}, {0,1,2}, etc., satisface tanto la ACC como la DCC, pero contiene cadenas arbitrariamente largas. Si, consecuentemente, se identifica al 0 en todos estos conjuntos, entonces toda cadena es finita, pero habrá cadenas arbitrariamente largas basadas en 0.
  • La condición de la cadena descendente sobre P es equivalente a una relación bien fundada sobre P: todo subconjunto no vacío de P tiene un elemento mínimo (también llamada condición minimal).
  • Análogamente, la condición de la cadena ascendente es equivalente al converso de una relación bien fundada sobre P: todo subconjunto no vacío de P tiene un elemento máximo (también llamada condición maximal).
  • Todo poset finito satisface tanto la ACC como la DCC.
  • Un conjunto totalmente ordenado que satisface la condición de la cadena descendente se llama conjunto bien ordenado.

Véase también[editar]

Notas[editar]

  1. Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko (2004), p.6, Prop. 1.1.4.
  2. Fraleigh & Katz (1967), p. 366, Lemma 7.1
  3. Jacobson (2009), p. 142 and 147

Referencias[editar]