Reductio ad absurdum

ARGUMENTA
Argumento ad antiquitatem Argumento ad baculum Argumento ad consequentiam Argumento ad crumenam Argumento ad hominem Argumento ad ignorantiam Argumento ad logicam Argumento ad nauseam Argumento ad novitatem Argumento ad populum Argumento ad verecundiam Reductio ad absurdum

Reductio ad absurdum, expresión latina por Reducción al absurdo, es un método de demostración formalizado y a menudo usado por Aristóteles como argumento lógico). Se parte de una hipótesis que se quiere demostrar que es verdadera, de la cual su opuesta se supone válida.

A partir de ella y mediante una concatenación de inferencias lógicas válidas se obtiene un resultado absurdo, por lo cual se concluye que la hipótesis de partida (la negación de la original) ha de ser falsa, y la original es verdadera.

A este método también se le conoce como prueba por contradicción o prueba ad absurdum. Parte de la base es el cumplimiento de la ley de exclusión de intermedios: una afirmación que no puede ser falsa consecuentemente ha de ser verdadera.

En Matemáticas

Supóngase que se desea demostrar una proposición P. El procedimiento consiste en demostrar que asumiendo como cierta la falsedad de P (o sea P negada) conduce a una contradicción lógica. Esta P debería no ser falsa. Por lo tanto habría de ser verdadera.

Por ejemplo considérese la proposición "no existe un número racional mínimo mayor que cero". En una reducción al absurdo se comenzaría por asumir lo contrario: existe un número racional mínimo mayor que cero: r₀.

Ahora establézcase x = r₀/2. Por lo tanto x es un número racional mayor que cero, y x es menor que r₀. Eso es absurdo, pues contradice la hipótesis de partida de que r₀ era el número racional mínimo. Por lo tanto se debe concluir que la proposición asumida como cierta: «hay un número racional mínimo mayor que cero» es falsa.

No es inusual utilizar este tipo de razonamientos con proposiciones como la enunciada, acerca de la inexistencia de cierto elemento matemático. Se supone que ese elemento existe y se prueba que eso conduce a una contradicción. Por lo tanto ese objeto no existe. De esta manera se puede probar que la raíz cuadrada de 2 es irracional.

La demostración por reducción al absurdo es un tipo de argumento lógico muy empleado en demostraciones matemáticas. Consiste en demostrar una proposición matemática probando que si no lo fuera conduciría a una contradicción.

Un ejemplo es la demostración de que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional. La afirmación inicial es la contraria: imagínese que es un número racional, es decir, que

$\sqrt{2} = \frac{p}{q}$, donde p y q son números enteros, y que q es distinto de 0. Sin pérdida de generalidad se puede suponer que p y q son positivos (si los dos fueran negativos bastaría multiplicarlos por -1), y que son primos entre sí, es decir no comparten factor común alguno. En caso contrario bastaría dividirlos entre su máximo común divisor.

Elevando al cuadrado:

$2 = \frac{p^2}{q^2}$

Multiplicando por $q^2 \,\!$ se tiene:

$2q^2 = p^2 \,\!$

La expresión $2q^2 \,\!$ es un número par, así que $p^2 \,\!$ también lo es. Eso implica que $p \,\!$ sea par. De no serlo, $p^2 \,\!$ no sería par, y no se podría cumplir la igualdad. Sea $p=2n \,\!$, donde $n \,\!$ es un número entero. Así, la expresión queda:

$2q^2=(2n)^2=4n^2 \,\!$

Simplificando se tiene:

$q^2=2n^2 \,\!$

Por el mismo razonamiento previo, $2n^2 \,\!$ es un número par, así es que $q^2 \,\!$ también es par, y $q \,\!$ así mismo es par.
Como $p \,\!$ y $q \,\!$ son pares, tienen al menos un factor común: $2 \,\!$. Esto entra en contradicción con la manera como se eligieron los números $p \,\!$ y $q \,\!$ para que carecieran de este factor. Como esta elección de $p \,\!$ y $q \,\!$ se hizo sin pérdida de generalidad y el razonamiento posterior es correcto, implica que la premisa inicial de que $\sqrt{2}$ era racional es falsa.
Luego $\sqrt{2}$ es irracional. Q.E.D.

Para obtener una prueba válida debe demostrarse que, dada una proposición $P \,\!$, "no $P \,\!$" implica una propiedad falsa en el sistema matemático utilizado. El peligro es la falacia lógica de la argumentación por ignorancia, mediante la cual se prueba que "no $P \,\!$" implica una propiedad $Q \,\!$ que parece falsa pero que realmente no se ha demostrado tal falsedad.

Un ejemplo clásico de esta falacia es la falsa demostración de un quinto postulado de Euclides a partir de los anteriores. Debido a que cuando se establecieron esas pruebas no existía otra Geometría que la euclidiana, parecían correctas. Tras la aparición de otras geometrías dio al traste el sistema. Para una explicación más profunda de esos malentendidos véase Mathematical Thought: from Ancient to Modern Times, de Morris Kline.

Aunque en demostraciones matemáticas se utiliza con gran libertad, no todas las escuelas de pensamiento matemático aceptan la reducción al absurdo como universalmente válida. En escuelas como la del intuicionismo, la ley de exclusión de intermedios no se acepta como válida. Desde este punto de vista hay una diferencia muy significativa entre demostrar que mediante un ejemplo real de un «algo» que existe sería absurdo demostrar su no existencia.

En Lógica simbólica la reducción al absurdo se expresa así:

Si

$S \cap \{ \neg P \} \vdash F$

entonces

$S \vdash P$

En esta representación, P es la proposición por demostrar, y S es una serie de proposiciones previas tomadas como ciertas. Por ejemplo los axiomas de la teoría en la que se ha trabajado o los teoremas anteriores ya demostrados. Considérese la negación de P en conjunto con S. Si esto lleva a una contradicción F se puede concluir que S conduce necesariamente a P.

En palabras de G. H. Hardy: "La Reducción al absurdo, que Euclides tanto amaba, es una de las mejores armas de la Matemática. Es mucho mejor gambito que cualquiera de los del ajedrez: un jugador de ajedrez puede ofrecer el sacrificio de un peón u otra pieza, pero un matemático ofrece la partida."

Véase también

• Reductio ad Hitlerum
• Prueba por contradicción