Poliedro

Poliedros.

Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. La palabra poliedro viene del griego clásico de la palabra πολύεδρον, de poli-muchas y edron-caras.

Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el punto o vértice es el semejante topológico del poliedro en cero dimensiones, una arista o segmento lo es en 1 dimensión, el polígono para 2 dimensiones; y el polícoro el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos, por lo que podemos definir un poliedro como un politopo tridimensional.

Elementos notables de un poliedro

En un poliedro cualquiera podemos distinguir los siguientes tres elementos notables principales:

• Sus caras, que son las porciones de plano que limitan el cuerpo, tienen forma de polígonos.
• Sus aristas, que son los segmentos en los que se encuentran dos caras.
• Sus vértices, que son los puntos del poliedro en los que se reúnen tres o más aristas. El orden de un vértice es el número de caras (o aristas) que concurren en él.

Asimismo, también podemos hablar de:

• Sus diagonales, que son los segmentos que unen vértices no consecutivos del poliedro (aquellos que no están unidos entre sí por una arista).

Denominación de los poliedros

Los poliedros son denominados de acuerdo a su número de caras. El sistema de denominación se basa de nuevo en el griego clásico. Por ejemplo tetraedro (4-caras), pentaedro (5), hexaedro (6), heptaedro (7), ... icosaedro (20) - icosa es 20 en griego clásico -, y así.

Frecuentemente un poliedro se la cualifica por una descripción del tipo de caras presentes en el. Si todas sus caras son iguales se les denomina regulares. Por ejemplo el dodecaedro regular o dodecaedro pentagonal frente al dodecaedro rómbico.

Otras denominaciones comunes indican que alguna operación se ha efectuado en un poliedro más simple que lo ha transformado en el actual. Por ejemplo el cubo truncado, que semeja un hexaedro (cubo) con sus esquinas truncadas o recortadas. Tiene por lo tanto 14 caras, y es en este caso irregular ya que de sus caras, seis tienen forma de octógono y ocho de triangulo.

Criterios de clasificación de los poliedros

Los poliedros pueden ser clasificados en muchos grupos según la familia de donde provienen o de las características que los diferencian; según sus características, se distinguen:

• Convexos, como el cubo, o el tetraedro, cuando cualquier par de puntos del espacio que estén dentro del cuerpo los une un segmento de recta también interno. En el caso de que dicho segmento se salga del cuerpo se dice que son poliedros cóncavos, como es el caso del toroide facetado y los sólidos de karim.
• Poliedro de caras regulares, cuando todas las caras del poliedro son polígonos regulares.
• Poliedro de caras uniformes, cuando todas las caras son iguales.
• Se dice poliedro de aristas uniformes cuando en todas sus aristas se reúnen el mismo número de caras.
• Se dice poliedro de vértices uniformes cuando en todos los vértices del poliedro convergen el mismo número de caras y en el mismo orden.
• Se dice poliedro regular o regular y uniforme, como el tetraedro o el icosaedro, cuando es de caras regulares, de caras uniformes de vértices uniformes y de aristas uniformes.

Estos grupos no son excluyentes entre sí; es decir, un poliedro puede estar incluido en más de uno de ellos.

Familias de poliedros

Poliedros regulares

Se dice que es un poliedro regular, aquel que tiene caras y ángulos iguales, por ejemplo un cubo o menos conocido cómo hexaedro (seis caras). El cubo posee seis polígonos con lados iguales con la misma longitud, éstos a su vez se unen en vértice con ángulos de 90º grados. También eran conocidos antiguamente y son conocidos aún, cómo Sólidos platónicos.

Sólidos platónicos

Tetraedro.

Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Sólo existen cinco de ellos: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. El nombre del grupo proviene del hecho de que los griegos adjudicaban a estos cuerpos cada uno de los "elementos fundamentales": tierra, agua, aire y fuego, y el restante, el dodecaedro, a la divinidad. Los sólidos platónicos son el inicio del estudio de los poliedros; de estos se derivan los sólidos de Arquímedes y los de Kepler-Poinsot, que a su vez siguen generando más familias.

Poliedros irregulares

Sólidos arquimedianos

Cuboctaedro.

Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son poliedros convexos de caras regulares y vértices uniformes, pero no de caras uniformes. Fueron ampliamente estudiados por Arquímedes. Algunos se obtienen truncando los sólidos platónicos; son once: el Tetraedro truncado, el Cuboctaedro, el Cubo truncado, el Octaedro truncado, el Rombicuboctaedro, el Cuboctaedro truncado, el Icosidodecaedro, el Dodecaedro truncado, el Icosaedro truncado, el Rombicosidodecaedro y el Icosidodecaedro truncado.

Y dos más que no se obtienen truncando sólidos platónicos: el cubo romo y el icosidodecaedro romo. Estas dos figuras tienen caso isomórfico; es decir, una figura de espejo correspondiente.

Prismas y antiprismas

Los prismas y los antiprismas son los únicos poliedros convexos y uniformes restantes. Todos ellos fueron estudiados por Kepler, quien los clasificó. Los prismas y antiprismas son grupos infinitos.

Todos los prismas se construyen con dos caras paralelas llamadas directrices, que le dan el nombre al prisma, y una serie de paralelogramos, tantos como lados tenga la cara directriz. Por ejemplo, el prisma cuyas caras directrices son triangulares se llama prisma triangular y se compone de dos triángulos y tres paralelogramos; tiene nueve aristas y seis vértices de orden 3 donde convergen siempre dos paralelogramos y un triángulo. Otro ejemplo sería el Prisma decagonal, que se compone de dos decágonos + diez paralelogramos; tiene 30 aristas y 20 vértices de orden 3.

Los antiprismas tienen una construcción parecida, dos caras paralelas y una serie de triángulos; el número de lados de las cara directriz multiplicado por dos; así, el antiprisma cuadrado se compone de dos cuadrados y ocho triángulos; tiene ocho vértices y 16 aristas.

Otras familias de poliedros

Sólidos de Johnson

Son un grupo extenso que contiene los poliedros convexos, de caras regulares restantes; sólo uno de ellos es uniforme y fueron clasificados y ampliamente estudiados por Norman Johnson.

Son en total 92 y entre ellos se enumeran:

• Pirámide triangular elongada.
• Rotunda pentagonal elongada.
• Girobifastigium.
• Girobicupola cuadrángular giroelongada, que es él único cuerpo de este grupo que sigue siendo uniforme.
• etc.

Bipirámides y trapezoedros

Bipirámide (octaedro).

Este grupo consiste en los duales de los prismas y antiprismas, respectivamente; por ende, también es un grupo infinito. Son poliedros de caras uniformes pero no son de de caras regulares, ni de vértices uniformes, ni de aristas uniformes.

Sólidos de Catalán

Hexaquisoctaedro.

Se obtienen logrando el dual de los sólidos de Arquímedes; el dual es básicamente el reemplazo de una cara por un vértice y viceversa. Por ejemplo, el dual del icosaedro (20 caras y 12 vértices) es el dodecaedro (12 caras y 20 vértices) y el dual del dodecaedro es el icosaedro. No son de caras regulares y no todos son de caras uniformes.

Entre los sólidos de Catalán se encuentran el triaquistetraedro, el rombododecaedro, el triaquisoctaedro, el tetraquishexaedro, el icositetraedro deltoidal, el hexaquisoctaedro, el icositetraedro pentagonal, el triacontaedro rómbico, el triaquisicosaedro, el pentaquisdodecaedro, el hexecontaedro deltoidal, el hexaquisicosaedro y el hexecontaedro pentagonal. Trece en total.

Deltaedros

Se llama deltaedros a los cuerpos que sólo están formados por triángulos equiláteros; no constituyen un grupo excluyente de sólidos: del grupo de los Sólidos platónicos se encuentran el Tetraedro, el Octaedro, Icosaedro y del grupo de los Sólidos de Johnson están la Bipirámide triangular, la Bipirámide pentagonal, la Bipirámide cuadrada giroelongada, el Biesfenoide romo y el Prisma triangular triaumentado.

Dato curioso

La palabra más larga del idioma español es el nombre de un poliedro de 56,645 lados, su nombre es pentakismyriohexakisquiliotetracosiohexacontapentagonalis

Bibliografía

• QUINCE SALAS, Ricardo. Propiedades elementales de los poliedros regulares. Santander: [s.n.], 1974. 17 p. Comunicación presentada a las Reuniones sobre Geometría aplicada a la Arquitectura y a la Ingeniería Civil.
• QUINCE SALAS, Ricardo. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Teoría y ejercicios. Santander: Escuela Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, [s.a.]. 202 p.
• QUINCE SALAS, Ricardo. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Tomo 2: soluciones. Santander: Escuela Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, [s.a.]. 124 p.

Véase también

• Sólidos platónicos
• Teorema de poliedros de Euler.
• Politopo

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Poliedro.
• Poliedros regulares e irregulares (en gallego)
• Poliedros: Modelos de Papel
• Jardín del poliedro
• Poliedros Regulares y Prismas en 3D