Sólidos platónicos

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Platonic solids.jpg

Los sólidos platónicos o regulares son poliedros convexos tal que todas sus caras son polígonos regulares iguales entre sí, y en que todos los ángulos sólidos son iguales.[1] Reciben este nombre en honor al filósofo griego Platón (ca. 427 a. C./428 a. C.-347 a. C.), a quien se atribuye haberlos estudiado en primera instancia. También se conocen como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, en base a propiedades geométricas, poliedros regulares convexos.

Los sólidos platónicos son el tetraedro, el cubo (o hexaedro regular), el octaedro (o bipirámide cuadrada si se incluyera en la nomenclatura de sólidos de Johnson),[2] el dodecaedro y el icosaedro (o bipirámide pentagonal giroelongada si se incluyera en la nomenclatura de sólidos de Johnson). Esta lista es exhaustiva, ya que es imposible construir otro sólido diferente de los cinco anteriores que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir, convexidad y regularidad.

Historia[editar]

Las propiedades de estos poliedros son conocidas desde la antigüedad clásica, hay referencias a unas bolas neolíticas de piedra labrada encontradas en Escocia[3] 1000 años antes de que Platón hiciera una descripción detallada de los mismos en Los elementos de Euclides. Se les llegó a atribuir incluso propiedades mágicas o místicas; Timeo de Locri, en el diálogo de Platón dice «El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo».

Los antiguos griegos estudiaron los sólidos platónicos a fondo, y fuentes (como Proclo) atribuyen a Pitágoras su descubrimiento. Otra evidencia sugiere que sólo estaba familiarizado con el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, y que el descubrimiento del octaedro y el icosaedro pertenecen a Teeteto, un matemático griego contemporáneo de Platón. En cualquier caso, Teeteto dio la descripción matemática de los cinco poliedros y es posible que fuera el responsable de la primera demostración de que no existen otros poliedros regulares convexos.El nombre cubo en árabe, Kaaba, nombra un santuario sumamente venerado en el Islam.[4]

Propiedades[editar]

Teorema[editar]

Existen únicamente cinco poliedros regulares; ello debido a la posibilidad de construcción de sus ángulos sólidos que admiten triángulos equitateros, o cuadrados, o bien pentágonos, que deben ser menor de 360°.[5]

Regularidad[editar]

Tal y como se ha expresado para definir estos poliedros:

  • Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.
  • En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y de aristas.
  • Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.
  • Todos los ángulos diedros que forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales.
  • Todos sus vértices son convexos a los del icosaedro.

Simetría[editar]

Los sólidos platónicos tienen caracterizaciones simétricas:

  • El centro de un cubo ( de un octaedro regular) es centro de simetría de dicha figura, devuelve la misma figura; mas no lo es, el centro de un tetraedro regular.[6] Todos ellos gozan respecto a un punto del espacio (centro de simetría) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas, pero no se conserva la figura original.
  • Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior.
  • Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales.

Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:

  • Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro.
  • Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro.
  • Una esfera circunscrita, que pase por todos los vértices del poliedro.

Proyectando los centros de las aristas de un poliedro platónico sobre su esfera circunscrita desde el centro de simetría del poliedro se obtiene una red esférica regular, compuesta por arcos iguales de círculo máximo, que constituyen polígonos esféricos regulares.

Conjugación[editar]

Si se traza un poliedro empleando como vértices los centros de las caras de un sólido platónico se obtiene otro sólido platónico, llamado conjugado del primero, con tantos vértices como caras tenía el sólido inicial, y el mismo número de aristas. El poliedro conjugado de un dodecaedro es un icosaedro, y viceversa; el de un cubo es un octaedro; y poliedro conjugado de un tetraedro es otro tetraedro.

Ecuación intrínseca[editar]

El Teorema de poliedros de Euler expresa una cualidad topológica de los poliedros convexos, al margen de sus medidas y formas, y de modo especial de los poliedros regulares.[7] Enuncia que el número de caras de un poliedro platónico más el número de sus vértices es igual al número de sus aristas más dos, mediante la siguiente ecuación:

c+v=a+2

Tabla comparativa[editar]

Sólidos Platónicos Tetraedro Hexaedro, Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro
Tetrahedron.jpg Hexahedron.jpg Octahedron.jpg Dodecahedron.jpg Icosahedron.jpg
Animación Tetrahedron.gif Hexahedron.gif Octahedron.gif Dodecahedron.gif Icosahedron.gif
Desarrollo Tetraedro desarrollo.gif Cubo desarrollo.gif Octaedro desarrollo.gif Dodecaedro desarrollo.gif Icosaedro desarrollo.gif
Número de caras 4 6 8 12 20
Polígonos que forman las caras Triángulos Equiláteros Cuadrados Triángulos Equiláteros Pentágonos Regulares Triángulos Equiláteros
Número de aristas 6 12 12 30 30
Número de vértices 4 8 6 20 12
Caras concurrentes en cada vértice 3 3 4 3 5
Vértices contenidos en cada cara 3 4 3 5 3
Grupo de simetría Tetraédrico (Td) Hexaédrico (Hh) Octaédrico (Oh) Icosaédrico (Lh) Icosaédrico (Lh)
Poliedro conjugado Tetraedro (autoconjugado) Octaedro Hexaedro, Cubo Icosaedro Dodecaedro
Símbolo de Schläfli {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5}
Símbolo de Wythoff 3 | 2 3 3 | 2 4 4 | 2 3 3 | 2 5 5 | 2 3
Ángulo diedro 70.53° = arccos(1/3) 90° 109.47° = arccos(-1/3) 116.56° 138.189685°
Radio externo  R= \frac{ \sqrt{6} }{4} \cdot a  R= \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot a  R= \frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot a  R=\frac{\sqrt{6}}{4} \sqrt{3 +\sqrt{5}} \cdot a  R=\frac{a}{4} \sqrt{10 +2\sqrt{5}}
 \approx  0.612 \cdot a  0.866 \cdot a  0.707 \cdot a  1.401 \cdot a  0.951 \cdot a
Radio interno  r= \frac{ \sqrt{6} }{12} \cdot a  r= \frac{ {a} } {2} r= \frac{ \sqrt{6} }{6} \cdot a r=\frac{a}{4} \sqrt{ \frac{50+22\sqrt{5}}{5} } r=\frac{a}{12} \sqrt{3} \left(3+ \sqrt{5} \right)
 \approx  0.204 \cdot a  0.5 \cdot a  0.408 \cdot a  1.113 \cdot a  0.756 \cdot a


Poliedros regulares en la naturaleza[editar]

En la naturaleza hay estructuras que son poliedros regulares casi perfectos, por ejemplo, la estructura básica del VIH es un icosaedro regular.[8]

Bibliografía[editar]

  • Sutton, David (2005). Sólidos platónicos y arquimedianos. Oniro S. A. ISBN 84-9754-131-6. 
  • QUINCE SALAS, Ricardo. Propiedades elementales de los poliedros regulares. Santander: [s.n.], 1974. 17 p. Comunicación presentada a las Reuniones sobre Geometría aplicada a la Arquitectura y a la Ingeniería Civil.
  • QUINCE SALAS, Ricardo. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Teoría y ejercicios. Santander: Escuela Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, [s.a.]. 202 p.
  • QUINCE SALAS, Ricardo. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Tomo 2: soluciones. Santander: Escuela Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, [s.a.]. 124 p.

Referencias[editar]

  1. G.M. Bruño: "Elementos de Geometría"
  2. * Norman Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pg. 169–200. Enumeración original de los 92 sólidos, y conjetura sobre que no existen otros.
  3. "De los poliedros a los polígonos usando herramientas tecnológicas para poptenciar el avance entre niveles de razonamiento geométrico", Gloria Judith Flórez, Director: Humberto Sarria Zapata, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ciencias, Departamento de Ciencias Básicas, Bogotá D.C., 2011, página 9: "Con exactitud, no se sabe en qué momento llegaron a conocerse los poliedros en la antigüedad. Los arqueólogos han hallado unas bolas labradas en piedra en Escocia (2000 a.C) con formas de cubo, dodecaedro, icosaedro, tetraedro y octaedro (figura 1), al igual se ha hallado en Pádova (Italia 500 a.C), un dodecaedro etrusco que probablemente era usado como juguete o decoración (figura 2)[...]". Los sólidos regulares neolíticos se encuentran en Ashmolean Museum de Oxford y fueron datados como de un período ubicado 2.000 años antes de nuestra era. www.bdigital.unal.edu.co/4949/1/GloriaJudithFlórez.2011.pdf
  4. «Gran Enciclopedia Espasa 13» ISBN 978-9972-58-780-1
  5. Bruño: Ibídem
  6. Clemens y otros: "Geometría" ISBN 0-201-64407-X
  7. Tola P.: Introducción a la topología, en "La fórmula de Euler para los poliedros"
  8. "Factores del Huésped que afectan a la progresión de la infección por el virus de la inmunodeficiencia humana de tipo 1 (VIH-1)", Tesis Doctoral presentada para obtener el grado de Doctor en Ciencias Biológicas, Universidad Autónoma de Barcelona, diciembre de 2004, Anuska Llano Montero, página 13. http://www.tdx.cat/bitstream/handle/10803/3756/alm1de1.pdf?sequence=1

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]