Teoría de grupos

Diagrama de Cayley del grupo libre de orden dos.

En álgebra abstracta, la teoría de grupos estudia la estructura algebraica conocida como grupo ​, que es un conjunto no vacío dotado de una operación interna. Sus objetivos son, entre otros, la clasificación de los grupos, el estudio de sus propiedades y sus aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas.

Los grupos sirven como pilar a otras estructuras algebraicas más elaboradas como los anillos, los cuerpos o los espacios vectoriales. La teoría de grupos tiene muchas aplicaciones en el campo de la física y la química, y es potencialmente aplicable en situaciones caracterizadas por la simetría. Además se aplican en astrofísica: quarks, solución de acertijos: cubo de Rubik, en los códigos binarios y en criptografía.

El orden de un grupo es su cardinalidad; sobre la base de él, los grupos pueden clasificarse en grupos de orden finito o de orden infinito. La clasificación de los grupos simples de orden finito es uno de los mayores logros matemáticos del siglo XX.

Historia

Las raíces históricas de la teoría de grupos son la teoría de las ecuaciones algebraicas, la teoría de números y la geometría. Euler, Gauss, Lagrange, Abel y Galois fueron los creadores que ponen los cimientos de esta rama del álgebra abstracta. Galois es reconocido como el primer matemático que relacionó esta teoría con la teoría de cuerpos, de lo que surgió la teoría de Galois. Además, usó la denominación de grupo o " inventó el término [...]" según E.T.Bell. Otros importantes matemáticos que contribuyen son Cayley, Emil Artin, Emmy Noether, Peter Ludwig Mejdell Sylow, A.G. Kurosch, Iwasawa entre muchos otros. Fue Walter Dick quien en 1882, dio la moderna definición de grupo y fue "el primero en definir el grupo libre engendrado por un número finito de generadores", según Nicolás Bourbaki. A fines del siglo XIX, Frobenius definió la noción de grupo abstracto con un sistema de axiomas.

Definición

Un grupo $(G,\circ )$ es un conjunto $G$ en el que se ha definido una operación binaria interna $\circ$, que satisface los siguientes axiomas:

1. Asociatividad: $\forall a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
2. Elemento neutro: $\exists e\in G:e\circ a=a\circ e=a$
3. Elemento simétrico: $\forall a\in G\quad \exists a^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$

Por lo tanto, un grupo está formado por un conjunto de elementos abstractos o símbolos, y por una ley de composición interna (operación binaria) que los relaciona. Dicha ley de composición interna indica cómo deben ser manipulados los elementos del grupo.

Se dice que un grupo es abeliano o conmutativo cuando verifica además la propiedad conmutativa:

$a\circ b=b\circ a\quad \forall a,b\in G$

• Además se puede considerar la operación unaria que a cada elemento $a$ le hace corresponder su elemento inverso $a^{-1}$ ​

Definición alternativa

Un grupo es un sistema algebraico que no es sino un conjunto no vacío provisto de una operación binaria asociativa, donde las ecuaciones $ax=b$ e $ya=b$ tienen solución, para $x$ e $y$ respectivamente, dentro de dicho conjunto; es decir, también cumple la clausuratividad, entre otras propiedades.

Notación

Se habla de notación aditiva cuando se representa la ley de composición interna como "$a+b$", y el elemento neutro como "0". Por otro lado, la notación multiplicativa es aquella en la que la ley de composición interna se representa como "$a\cdot b$", o "$ab$", y el elemento neutro como "1".

Ejemplos

• $(\mathbb {Z} ,+)$, el conjunto de números enteros con la suma usual, es un grupo abeliano; donde el elemento neutro es el 0, y el simétrico de x, es -x.
• $(\mathbb {R} ,+)$, el conjunto de los números reales con la suma usual, es un grupo abeliano; donde el elemento neutro es el 0, y el simétrico de x, es -x.
• $(\mathbb {Z} \setminus \{0\},\cdot )$, el conjunto de los números enteros (excluyendo al 0) con la multiplicación, no es un grupo; dado que el elemento simétrico de x es 1/x, y dicho 1/x pertenece al conjunto de racionales, no al de los enteros (para todo x distinto de 1 y de -1). Nótese que al no tener el cero elemento simétrico multiplicativo, se lo debe excluir.
• El conjunto de todas las biyecciones de un conjunto X - simbolizado por S(X) - junto con la composición de funciones, es un grupo (no abeliano si la cardinalidad de X es mayor que dos) que se llama grupo simétrico de X.
• El conjunto de matrices rectangulares de dimensiones $n\times m$ con la suma, es un grupo abeliano.
• El conjunto de matrices cuadradas de orden $n$ y determinante diferente de cero con la multiplicación (Grupo general lineal), no es abeliano.
• Las clases de homotopía de trayectorias cerradas continuas $S^{1}\to X$ con base en un punto determinado, en un espacio topológico X, forman un grupo no necesariamente abeliano. Ésta construcción es el grupo fundamental de X.
  • El grupo fundamental de una circunferencia ( $S^{1}$) es el grupo cíclico infinito; $\mathbb {Z}$.
  • El de la esfera $S^{2}$ es trivial = 0, y lo mismo para las n-esferas de dimensiones superiores.
  • El de un toro ( $S^{1}\times S^{1}$) es la suma directa $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$.
  • El de un toro con un disco eliminado es el grupo libre de orden dos, $F_{2}$., el de un toro con dos discos disjuntos eliminados es $F_{3}$...
  • El del plano proyectivo es $\mathbb {Z} _{2}$.
  • El de la botella de Klein tiene la presentación; $\langle a,b:aba=b\rangle$ y corresponde al producto semidirecto de $\mathbb {Z}$ con $\mathbb {Z}$.

Operaciones

Entre dos grupos G, H puede haber morfismos, i.e. funciones que son compatibles con las operaciones en cada uno de ellos. Decimos que una aplicación $\phi \colon G\to H$ es un homomorfismo si para todo par de elementos $a$ y $b$ de $G$ se verifica

$\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)\,$

donde hemos utilizado la convención de escribir $ab$ para indicar la operación de a con b en G, y $\phi (a)\phi (b)$ la operación de $\phi (a)$ con $\phi (b)$ en H.

El conjunto $\phi S$ es un subgrupo en H cuando S es un subgrupo en G.

Si transformamos un conmutador del grupo: $aba^{-1}b^{-1}$ se obtiene: $\phi (aba^{-1}b^{-1})=\phi (a)\phi (b)(\phi (a))^{-1}(\phi (b))^{-1}$.

Categoría de grupos

Desde el punto de vista de la teoría de categorías, la teoría de grupos podría catalogarse como una categoría llamada categoría de grupos, debido a que en ella se estudia a los grupos y sus morfismos. La categoría de grupos es muy grande, pero puede armarse una relación de equivalencia en esta categoría para que se factorice: la relación entre grupos de ser isomorfos reduce cuestiones estructurales de la categoría de grupos a la categoría de grupos-módulo-los-isomorfos. En esta reducción la operación de unión disjunta la convierte en una categoría monoidal.

Teoría geométrica de los grupos

Los más actuales temas de investigación en la teoría de grupos tienen que ver con las modernas técnicas de la topología. Una manera estándar de construir nuevos grupos a partir de los conocidos son los

• productos libres y productos libres amalgamados.
• HNN-extensiones.

La gran variedad de técnicas topológicas pueden ser aplicadas desde que se sabe que es posible construir siempre un espacio topológico (de hecho un CW-complejo dos-dimensional) de tal manera que el grupo fundamental de este espacio sea el grupo dado.​

Véase también

• Grupo.
• Representación de grupo.
• Subgrupo.
• Álgebra abstracta.
• Teoría geométrica de grupos.

Bibliografía

• Alexandroff, P. S. (1967). Introducción a la Teoría de los Grupos. Buenos Aires: Editorial Universitaria de Buenos Aires, Colección Cuadernos Nº 132, 152 páginas, en rústica. Traducción del ruso: Juana Elisa Quastler. 
• Adler, Irving (1970). La Nueva Matemática. Buenos Aires: Editorial Universitaria de Buenos Aires, Colección Ciencia Joven, 288 páginas, en rústica. Traducción del inglés: Jorge Jáuregui. Original: The New Mathematics, The John Day Company, New York. 
• Murphy-Hernández, Frank y García, Jaime. Notas de Álgebra Moderna 1.

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Teoría de grupos.
• Referencia global en Encyclopaedia of Mathematics

• Datos: Q874429
• Multimedia: Group theory / Q874429