Suma directa

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Un coproducto o suma directa para una familia (A_i)_{i \in I} de objetos en una categoría C, es un objeto S de C, junto a una familia de morfismos f_i\colon A_i \to S (i \in I) tal que para cualquier objeto B y una famila de morfismos g_i\colon A_i \to B, existe un único morfismo g\colon S \to B tal que g \circ f_i = g_i.

No hay una notación uniforme para los coproductos o sumas directas y algunas veces se denota \bigoplus_{i\in I}A_i.

Ejemplos[editar]

  • Consideremos un anillo R y la categoría de R-módulos por la izquierda. En este caso, la suma directa de una familia de R-módulos existe y es única. La construcción se puede hacer de la siguiente manera:

Sea (A_i)_{i \in I} una familia de R-módulos por la izquierda, entonces definimos

S := \{ (a_i)_{i \in I}: a _i \in A_i y todos los a_i son cero, excepto un número finito de ellos \}, y definimos
f_i\colon A_i \to S como la inclusión de A_i en la i-ésima coordenada de S.

Y definimos la suma de elementos en S, y el producto escalar, de un elemento k \in R por uno de S de la siguiente manera, coordenada a coordenada:

(a_i)_{i \in I} + (b_i)_{i \in I} := (a_i + b_i)_{i \in I}
k(a_i)_{i \in I} := (ka_i)_{i \in I}


  • Un caso particular de lo anterior es el caso en que R es cuerpo, es decir cuando estamos en la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo dado. En este caso, dado V espacio vectorial y W, U dos subespacios de V, tales que W \cap U= \{0\}, podemos definir la suma directa interna, denotada W \oplus U, como el subespacio generado por W y U. No es difícil probar que este subespacio es isomorfo a la suma directa definida en el punto anterior.


  • Otro caso es la suma directa de grupos abelianos, ya que la categoría de grupos abelianos es equivalente a la categoría de \mathbb Z-módulos.

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