Teoría de grupos

Diagrama de Cayley del grupo libre de orden dos.

En álgebra abstracta, la teoría de grupos estudia la estructura algebraica conocida como grupo,​ que es un conjunto no vacío dotado de una operación interna. Sus objetivos son, entre otros, la clasificación de los grupos, el estudio de sus propiedades y sus aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas.

El orden de un grupo es su cardinalidad; sobre la base de él, los grupos pueden clasificarse en grupos de orden finito o de orden infinito. La clasificación de los grupos simples de orden finito es uno de los mayores logros matemáticos del siglo XX.

Varios sistemas físicos, como los cristales y el átomo de hidrógeno, y el tres de las cuatro fuerzas fundamentales conocidas del universo, pueden modelarse mediante grupos de simetría. Así, la teoría de grupos y la teoría de la representación, estrechamente relacionada con ella, tienen muchas aplicaciones importantes en física, química y ciencia de los materiales. La teoría de grupos también es fundamental para la criptografía de clave pública.

La historia de la teoría de grupos se remonta al siglo XIX. Uno de los logros matemáticos más importantes del siglo XX​ fue el esfuerzo de colaboración, que ocupó más de 10 000 páginas de revista y se publicó en su mayor parte entre 1960 y 2004, que culminó en una clasificación de grupos simples finitos completa.

Historia

Las raíces históricas de la teoría de grupos son la teoría de las ecuaciones algebraicas, la teoría de números y la geometría. Euler, Gauss, Lagrange, Abel y Galois fueron los creadores que ponen los cimientos de esta rama del álgebra abstracta. Galois es reconocido como el primer matemático que relacionó esta teoría con la teoría de cuerpos, de lo que surgió la teoría de Galois. Además, usó la denominación de grupo o " inventó el término [...]" según E.T.Bell. Otros importantes matemáticos que contribuyen son Cayley, Emil Artin, Emmy Noether, Peter Ludwig Mejdell Sylow, A.G. Kurosch, Iwasawa entre muchos otros. Fue Walter Dick quien en 1882, dio la moderna definición de grupo y fue "el primero en definir el grupo libre engendrado por un número finito de generadores", según Nicolás Bourbaki. A fines del siglo XIX, Frobenius definió la noción de grupo abstracto con un sistema de axiomas.

Definición de grupo

Un grupo $(G,\circ )$ es un conjunto $G$ en el que se ha definido una operación binaria interna $\circ$, que satisface los siguientes axiomas:

1. Asociatividad: $\forall a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
2. Elemento neutro: $\exists e\in G:e\circ a=a\circ e=a$
3. Elemento simétrico: $\forall a\in G\quad \exists a^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$

La operación binaria del grupo, también denominada ley de composición interna, especifica cómo componer dos elementos para obtener un tercero. También se puede considerar la inversión como la operación unaria​ que a cada elemento $g$ le hace corresponder su elemento inverso $g^{-1}$.

Se dice que un grupo es abeliano o conmutativo cuando verifica además la propiedad conmutativa:

$a\circ b=b\circ a\quad \forall a,b\in G$

Notación

Se habla de notación aditiva cuando se representa la ley de composición interna como "$a+b$", y el elemento neutro como "0". Por otro lado, la notación multiplicativa es aquella en la que la ley de composición interna se representa como "$a\cdot b$", o "$ab$", y el elemento neutro como "1".

Ejemplos

• $(\mathbb {Z} ,+)$, el conjunto de números enteros con la suma usual, es un grupo abeliano; donde el elemento neutro es el 0, y el simétrico de x, es -x.
• $(\mathbb {R} ,+)$, el conjunto de los números reales con la suma usual, es un grupo abeliano; donde el elemento neutro es el 0, y el simétrico de x, es -x.
• $(\mathbb {Z} \setminus \{0\},\cdot )$, el conjunto de los números enteros (excluyendo al 0) con la multiplicación, no es un grupo; dado que el elemento simétrico de x es 1/x, y dicho 1/x pertenece al conjunto de racionales, no al de los enteros (para todo x distinto de 1 y de -1). Nótese que al no tener el cero elemento simétrico multiplicativo, se lo debe excluir.
• El conjunto de todas las biyecciones de un conjunto X - simbolizado por S(X) - junto con la composición de funciones, es un grupo (no abeliano si la cardinalidad de X es mayor que dos) que se llama grupo simétrico de X.
• El conjunto de matrices rectangulares de dimensiones $n\times m$ con la suma, es un grupo abeliano.
• El conjunto de matrices cuadradas de orden $n$ y determinante diferente de cero con la multiplicación (Grupo general lineal), no es abeliano.
• Las clases de homotopía de trayectorias cerradas continuas $S^{1}\to X$ con base en un punto determinado, en un espacio topológico X, forman un grupo no necesariamente abeliano. Esta construcción es el grupo fundamental de X.
  • El grupo fundamental de una circunferencia ( $S^{1}$) es el grupo cíclico infinito; $\mathbb {Z}$.
  • El de la esfera $S^{2}$ es trivial = 0, y lo mismo para las n-esferas de dimensiones superiores.
  • El de un toro ( $S^{1}\times S^{1}$) es la suma directa $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$.
  • El de un toro con un disco eliminado es el grupo libre de orden dos, $F_{2}$., el de un toro con dos discos disjuntos eliminados es $F_{3}$...
  • El del plano proyectivo es $\mathbb {Z} _{2}$.
  • El de la botella de Klein tiene la presentación; $\langle a,b:aba=b\rangle$ y corresponde al producto semidirecto de $\mathbb {Z}$ con $\mathbb {Z}$.

Morfismos entre grupos

Entre dos grupos G, H puede haber morfismos, i.e. funciones que son compatibles con las operaciones en cada uno de ellos. Decimos que una aplicación $\phi \colon G\to H$ es un homomorfismo si para todo par de elementos $a$ y $b$ de $G$ se verifica

$\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)\,$

donde hemos utilizado la convención de escribir $ab$ para indicar la operación de a con b en G, y $\phi (a)\phi (b)$ la operación de $\phi (a)$ con $\phi (b)$ en H.

Si transformamos un conmutador del grupo: $aba^{-1}b^{-1}$ se obtiene: $\phi (aba^{-1}b^{-1})=\phi (a)\phi (b)(\phi (a))^{-1}(\phi (b))^{-1}$.

Categoría de grupos

Desde el punto de vista de la teoría de categorías, la teoría de grupos podría catalogarse como una categoría llamada categoría de grupos, debido a que en ella se estudia a los grupos y sus morfismos. La categoría de grupos es muy grande, pero puede armarse una relación de equivalencia en esta categoría para que se factorice: la relación entre grupos de ser isomorfos reduce cuestiones estructurales de la categoría de grupos a la categoría de grupos-módulo-los-isomorfos. En esta reducción la operación de unión disjunta la convierte en una categoría monoidal.

Teoría geométrica de los grupos

Los más actuales temas de investigación en la teoría de grupos tienen que ver con las modernas técnicas de la topología. Una manera estándar de construir nuevos grupos a partir de los conocidos son los

• productos libres y productos libres amalgamados.
• HNN-extensiones.

La gran variedad de técnicas topológicas pueden ser aplicadas desde que se sabe que es posible construir siempre un espacio topológico (de hecho un CW-complejo dos-dimensional) de tal manera que el grupo fundamental de este espacio sea el grupo dado.​

Véase también

• Grupo.
• Representación de grupo.
• Subgrupo.
• Álgebra abstracta.
• Teoría geométrica de grupos.

Bibliografía

• Alexandroff, P. S. (1967). Introducción a la Teoría de los Grupos. Buenos Aires: Editorial Universitaria de Buenos Aires, Colección Cuadernos Nº 132, 152 páginas, en rústica. Traducción del ruso: Juana Elisa Quastler. 
• Adler, Irving (1970). La Nueva Matemática. Buenos Aires: Editorial Universitaria de Buenos Aires, Colección Ciencia Joven, 288 páginas, en rústica. Traducción del inglés: Jorge Jáuregui. Original: The New Mathematics, The John Day Company, New York. 
• Murphy-Hernández, Frank y García, Jaime. Notas de Álgebra Moderna 1.
• Borel, Armand (1991), Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics 126 (2nd edición), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97370-8, MR 1102012 .
• Carter, Nathan C. (2009), Visual group theory, Classroom Resource Materials Series, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-757-1, MR 2504193 .
• Cannon, John J. (1969), «Computers in group theory: A survey», Communications of the ACM 12: 3-12, MR 0290613, S2CID 18226463, doi:10.1145/362835.362837 .
• Frucht, R. (1939), «Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe», Compositio Mathematica 6: 239-50, ISSN 0010-437X, archivado desde el original el 1 de diciembre de 2008 .
• Golubitsky, Martin; Stewart, Ian (2006), «Nonlinear dynamics of networks: the groupoid formalism», Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 43 (3): 305-364, MR 2223010, doi:10.1090/S0273-0979-06-01108-6 . Shows the advantage of generalising from group to groupoid.
• Judson, Thomas W. (1997), Abstract Algebra: Theory and Applications . An introductory undergraduate text in the spirit of texts by Gallian or Herstein, covering groups, rings, integral domains, fields and Galois theory. Free downloadable PDF with open-source GFDL license.
• Kleiner, Israel (1986), «The evolution of group theory: a brief survey», Mathematics Magazine 59 (4): 195-215, ISSN 0025-570X, JSTOR 2690312, MR 863090, doi:10.2307/2690312 .
• La Harpe, Pierre de (2000), Topics in geometric group theory, University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-31721-2 .
• Livio, M. (2005), The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry, Simon & Schuster, ISBN 0-7432-5820-7, (requiere registro) . Conveys the practical value of group theory by explaining how it points to symmetries in physics and other sciences.
• Mumford, David (1970), Abelian varieties, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC 138290 .
• Ronan M., 2006. Symmetry and the Monster. Oxford University Press. ISBN 0-19-280722-6. For lay readers. Describes the quest to find the basic building blocks for finite groups.
• Rotman, Joseph (1994), An introduction to the theory of groups, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94285-8 . A standard contemporary reference.
• Schupp, Paul E.; Lyndon, Roger C. (2001), Combinatorial group theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-41158-1 .
• Scott, W. R. (1987), Group Theory, New York: Dover, ISBN 0-486-65377-3 . Inexpensive and fairly readable, but somewhat dated in emphasis, style, and notation.
• Shatz, Stephen S. (1972), Profinite groups, arithmetic, and geometry, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08017-8, MR 0347778 .

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Teoría de grupos.
• Referencia global en Encyclopaedia of Mathematics

• Datos: Q874429
• Multimedia: Group theory / Q874429